a=2^0.5;x=a^a^a^a^a^a^a...的值究竟是2，还是4？

mathematica

a=根号2，
x=a^a^a^a^a^a....有无穷多个a次幂，
那么如何排除x=4这个答案？
a^x=x，这个方程有x=2 x=4两个解，
根据我按计算器迭代很多次方，x=2，而不是x=4，
那么如何排除x=4这个解呢？

其中3^4^5表示3^(4^5)的意思

majer

考虑数列{An：a^a^a^a^a……^a，共n个a}，按照楼主制定的运算规律，

我们知道数列肯定是有上界的，因为对于任意n，若把最后a^a^a^a^a……^a（n个a）里最后一个a替换成2，则立刻得到a^a^a^a^a……^a^a ＜ a^a^a^a^a…^（a^2）。

最末括号里式子的值为2，然后对倒数第三个a，有a^2……就像点鞭炮一样，连续得到2，最后是a^(a^2)=2。

另外也

容易知道，An单调递增。

用归纳法，n=1,2时显然。假设n=k和k-1时成立：\[A_{k-1} < A_{k} \]


则当n=k+1时，\[A_{k}=\sqrt{ 2}^{A_{k-1}} <\sqrt{ 2}^{ A_{k}}=A_{k+1} \]

单调有上界，所以极限存在。且极限不可能大于2（因为2已经是一个上界）。故而排除4.