非线性代数方程(组)的所有根的无限精度的 逆天算法？

wayne

kastin 发表于 2021-5-23 21:33
"非线性方程在 x0邻域内是可以快速收敛的"，如果是这样的，那么给出Root[{expr,x0}]等价于给出了精确的 ...

非常有意思。我构造了一个在x0处一阶导函数和二阶导函数都为0的例子。发现Mathematica的Solve/Reduce这类的函数都失效了。 $-\sin (x)-\log \left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right)+\log \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)=0$
这充分说明 楼上mathe的解释正是Mathematica背后的算法。就是判断给定区间内二阶导函数不变号。如果二阶导数为0的话，算法就歇菜了。哈哈哈。 自此 神秘感 彻底消失。本话题 结题。

zeroieme

果然是类Hold的形式，保留最后才求近似值。
新技术是整合了零点分析。
而关于根的表示形式，其实之前已经跟wayne讨论过了。
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 22&fromuid=3965

zeroieme

接着讨论是Root[{expr,x0}]除了作为一个表示某实数的符号，是否还能参与【真正的计算】。

最简单测试
构造Root[{expr,x1}]与Root[{expr,x2}]，x2是比x1更精确的数值根。 Mathematica能否知道这俩等值呢？

mathematica

wayne 发表于 2021-5-23 22:14
非常有意思。我构造了一个在x0处一阶导函数和二阶导函数都为0的例子。发现Mathematica的Solve/Reduce这类 ...

解个方程组看看

wayne

zeroieme 发表于 2021-5-24 14:50
接着讨论是Root[{expr,x0}]除了作为一个表示某实数的符号，是否还能参与【真正的计算】。

最简单测试

非常有道理。测试一下，看是否严格等于1

1. {x0,y0}=First[SolveValues[{Cos[x]==x,y==Sin[x]^2},{x,y},Reals]]
   
2. FullSimplify[x0^2 + y0]

复制代码

无心人

其实，只考虑多项式就行了，因为你可以把大部分函数，变成近似多项式形式，而且，误差是可以估算出来的

无心人

而多项式是有确定性的数值解的方法的