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楼主: wayne

[原创] 非线性代数方程(组)的所有根的无限精度的 逆天算法?

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 楼主| 发表于 2021-5-23 21:57:07 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2021-5-23 21:44
如果我们能够验证在一个小区间内部连续二阶可微函数二阶函数不变号,在两个端点函数值符号相反,那么就可以 ...


换句话说,就是在给定区间内 二阶导函数的最大值和最小值是同号的。。,于是根的唯一性问题变成了 最优化问题了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-5-23 22:14:12 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2021-5-23 21:33
"非线性方程在 x0邻域内是可以快速收敛的",如果是这样的,那么给出Root[{expr,x0}]等价于给出了精确的 ...

非常有意思。我构造了一个在x0处一阶导函数和二阶导函数都为0的例子。发现Mathematica的Solve/Reduce这类的函数都失效了。 $-\sin (x)-\log \left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right)+\log \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)=0$
这充分说明 楼上mathe的解释正是Mathematica背后的算法。就是判断给定区间内二阶导函数不变号。如果二阶导数为0的话,算法就歇菜了。哈哈哈。 自此 神秘感 彻底消失。本话题 结题。
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发表于 2021-5-24 14:42:24 | 显示全部楼层
果然是类Hold的形式,保留最后才求近似值。
新技术是整合了零点分析。
而关于根的表示形式,其实之前已经跟wayne讨论过了。
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 22&fromuid=3965



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发表于 2021-5-24 14:50:35 | 显示全部楼层
接着讨论是Root[{expr,x0}]除了作为一个表示某实数的符号,是否还能参与【真正的计算】。

最简单测试
构造Root[{expr,x1}]与Root[{expr,x2}],x2是比x1更精确的数值根。 Mathematica能否知道这俩等值呢?
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发表于 2021-5-24 15:33:51 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2021-5-23 22:14
非常有意思。我构造了一个在x0处一阶导函数和二阶导函数都为0的例子。发现Mathematica的Solve/Reduce这类 ...

解个方程组看看
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 楼主| 发表于 2021-5-24 16:20:05 | 显示全部楼层
zeroieme 发表于 2021-5-24 14:50
接着讨论是Root[{expr,x0}]除了作为一个表示某实数的符号,是否还能参与【真正的计算】。

最简单测试

非常有道理。测试一下,看是否严格等于1
  1. {x0,y0}=First[SolveValues[{Cos[x]==x,y==Sin[x]^2},{x,y},Reals]]
  2. FullSimplify[x0^2 + y0]
复制代码

点评

验证符合你的预期  发表于 2021-5-25 22:39
结果呢?  发表于 2021-5-25 20:26
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发表于 2021-5-24 17:59:50 | 显示全部楼层
其实,只考虑多项式就行了,因为你可以把大部分函数,变成近似多项式形式,而且,误差是可以估算出来的
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发表于 2021-5-24 18:00:51 | 显示全部楼层
而多项式是有确定性的数值解的方法的
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