初中题，如图，A、C是半径为2的圆O上的两动点，以 AC为直角边在圆O，求OB的最小值

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如图，A、C是半径为2的圆O上的两动点，以
AC为直角边在圆O内做等腰Rt△ABC,∠C=90°，
连接OB，则OB的最小值是？

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1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. (*假设CB=CA=x,BO=y,计算∠BCO的余弦值，计算∠ACO的余弦值*)
   
5. (*利用余弦定理计算两个角的余弦值，互余角的余弦值的平方和等于1*)
   
6. aaa=cs[x,2,y]^2+cs[2,x,2]^2-1
   
7. bbb=Numerator@Together[aaa](*只取分子，得到约数条件*)
   
8. f=y+t*bbb(*建立目标函数，求y的最大值*)
   
9. ans=Solve[D[f,{{x,y,t}}]==0,{x,y,t},Reals]//FullSimplify(*拉格朗日乘子法，求偏导数，解方程组*)
   
10. Grid[ans,Alignment->Left]
    
11. g=x+t*bbb(*建立目标函数，求x的最大值*)
    
12. out=Solve[D[g,{{x,y,t}}]==0,{x,y,t},Reals]//FullSimplify(*拉格朗日乘子法，求偏导数，解方程组*)
    
13. Grid[out,Alignment->Left]
    
14. fi=ContourPlot[bbb==0,{x,-6,6},{y,-6,6}](*隐函数绘图，看看约数条件的图像是什么样*)
    

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一切思路写在代码注释里面！

约束条件是
\[2 x^4-2 x^2 y^2-8 x^2+y^4-8 y^2+16=0\]

求y极值的方程组的解是(只有实数解)
\[\begin{array}{lll}
x\to -2 \sqrt{2-\sqrt{2}} & y\to 2-2 \sqrt{2} & t\to \frac{1}{64} \left(-\sqrt{2}-2\right) \\
x\to -2 \sqrt{2-\sqrt{2}} & y\to 2 \left(\sqrt{2}-1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(\sqrt{2}+2\right) \\
x\to 2 \sqrt{2-\sqrt{2}} & y\to 2-2 \sqrt{2} & t\to \frac{1}{64} \left(-\sqrt{2}-2\right) \\
x\to 2 \sqrt{2-\sqrt{2}} & y\to 2 \left(\sqrt{2}-1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(\sqrt{2}+2\right) \\
x\to -2 \sqrt{\sqrt{2}+2} & y\to -2 \left(\sqrt{2}+1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(2-\sqrt{2}\right) \\
x\to -2 \sqrt{\sqrt{2}+2} & y\to 2 \left(\sqrt{2}+1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(\sqrt{2}-2\right) \\
x\to 2 \sqrt{\sqrt{2}+2} & y\to -2 \left(\sqrt{2}+1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(2-\sqrt{2}\right) \\
x\to 2 \sqrt{\sqrt{2}+2} & y\to 2 \left(\sqrt{2}+1\right) & t\to \frac{1}{64} \left(\sqrt{2}-2\right) \\
\end{array}\]

求x极值的方程组的解是(只有实数解)
\[\begin{array}{lll}
x\to -4 & y\to -2 \sqrt{5} & t\to \frac{1}{128} \\
x\to -4 & y\to 2 \sqrt{5} & t\to \frac{1}{128} \\
x\to 4 & y\to -2 \sqrt{5} & t\to -\frac{1}{128} \\
x\to 4 & y\to 2 \sqrt{5} & t\to -\frac{1}{128} \\
\end{array}\]

约束条件的图像是



补充内容 (2021-6-1 13:39):
看起来像蝴蝶的翅膀

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不用余弦定理，如何求解最小值

王守恩

观察可知：ABCO是圆内接四边形
\(2*x+x*y=2*\sqrt{2}x\ \ 即： 2+y=2*\sqrt{2}\)

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王守恩 发表于 2021-5-31 08:37
观察可知：ABCO是圆内接四边形
\(2*x+x*y=2*\sqrt{2}x\ \ 即： 2+y=2*\sqrt{2}\)

我需要你的证明！
逻辑思维是怎么回事？

hujunhua

两个动点嘛，固定一个好了，就固定A, 让C相对于A在圆上滑动。
延长CB交圆O于D，则AD是直径，所以D随A而固定。
由于∠ABD=135°，所以B在如图的两条对称圆弧上滑动。
显然，B在轨迹圆弧的中顶时，OB最小。
这时 OB=2tan22.5°=EB-EO=2(√2-1）.

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hujunhua 发表于 2021-5-31 11:48
两个动点嘛，固定一个好了，就固定A, 让C相对于A在圆上滑动。
延长CB交圆O于D，则AD是直径，所以D随A而固 ...

你为什么这么聪明？？？？