设x、y、z为不全相等的非负实数，且a=x-√yz……

h1490000

设 x、y、z 为不全相等的非负实数，且`a=x-\sqrt{yz}, b=y-\sqrt{zx},c=z-\sqrt{xy}`，则下列结论正确的是
        A. a、b、c都不大于0                          B. a、b、c都不小于0
        C. a、b、c至少一个数大于0                D. a、b、c至少一个数小于0

gxqcn

不妨设 0 ≤x≤y≤z，且 x≠z，则 a<0，c>0，故 A、B 不正确，C、D 正确

wayne

根据排序不等式，得知 $a+b+c = (x+y+z)- (\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}) >=0$
所以答案是C

mathematica

wayne 发表于 2021-6-1 10:45
根据排序不等式，得知 $a+b+c = (x+y+z)- (\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}) >=0$
所以答案是C

我感觉D看起来也对，但是怎么证明呢？

mathematica

wayne 发表于 2021-6-1 10:45
根据排序不等式，得知 $a+b+c = (x+y+z)- (\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}) >=0$
所以答案是C

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. Do[
   
3.     x=RandomReal[{0,100}];
   
4.     y=RandomReal[{0,100}];
   
5.     z=RandomReal[{0,100}];
   
6.     a=x-Sqrt[y*z];
   
7.     b=y-Sqrt[z*x];
   
8.     c=z-Sqrt[x*y];
   
9.     If[(x!=y)&&(y!=z)&&(z!=x),Print[{x,y,z,a,b,c,Sort[{a,b,c},#1>#2&]}]],
   
10.     {k,100}
    
11. ]
    

复制代码

做数学试验，最小数都小于零，也许有某种必然性在里面

mathematica

假设最小数是x，则0<=x<=y,0<=x<=z, 则x^2<y*z (不同时取等号) 则a<0
同理假设最小数是y，则b<0
假设最小数是z，则c<0
最小数必然是x y z中的某一个，都有小于零的数，因此必然有小于零的，

同理，假设最大数是x，则x>=y>=0   x>=z>=0 所以x^2>y*z，则a>0
剩下的我不写了，意思到了就行。

wayne

wayne 发表于 2021-6-1 10:45
根据排序不等式，得知 $a+b+c = (x+y+z)- (\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}) >=0$
所以答案是C

郭老大的分析最简洁。 不失去一般性，可以设$0<=x<=y<=z$...。     我得出了$a+b+c>=0$只是必要条件。不是充分条件。

wayne

题外话，如果$a=x^2-yz, b=y^2-xz,c=z^2-xy$, 那么，  $x=\frac{a^2-b c}{\sqrt{a^3+b^3+c^3-3 a b c}}, y = \frac{b^2-a c}{\sqrt{a^3+b^3+c^3-3 a b c}},z=\frac{c^2-a b}{\sqrt{a^3+b^3+c^3-3 a b c}}$