数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 236|回复: 11

[求助] 设x、y、z为不全相等的非负实数,且a=x-√yz……

[复制链接]
发表于 2021-5-31 20:18:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
设 x、y、z 为不全相等的非负实数,且`a=x-\sqrt{yz}, b=y-\sqrt{zx},c=z-\sqrt{xy}`,则下列结论正确的是
        A. a、b、c都不大于0                          B. a、b、c都不小于0
        C. a、b、c至少一个数大于0                D. a、b、c至少一个数小于0

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-1 09:22:20 | 显示全部楼层
不妨设 0 ≤x≤y≤z,且 x≠z,则 a<0,c>0,故 A、B 不正确,C、D 正确

点评

看来,你还没有理解“设”前的“不妨”二字  发表于 2021-6-2 09:59
三个数,六种排列,每一种都分析一下,然后就有结论了,穷举法万岁!!!!!!!!!!!!!!!!  发表于 2021-6-1 16:06
不妨设 0 ≤x≤y≤z,这个假设明显可以不成立呀  发表于 2021-6-1 11:08

评分

参与人数 1威望 +3 鲜花 +3 收起 理由
wayne + 3 + 3

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-1 10:45:38 | 显示全部楼层
根据排序不等式,得知 $a+b+c = (x+y+z)- (\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}) >=0$
所以答案是C
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-1 16:03:32 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2021-6-1 10:45
根据排序不等式,得知 $a+b+c = (x+y+z)- (\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}) >=0$
所以答案是C

我感觉D看起来也对,但是怎么证明呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-1 16:04:45 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2021-6-1 10:45
根据排序不等式,得知 $a+b+c = (x+y+z)- (\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}) >=0$
所以答案是C
  1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
  2. Do[
  3.     x=RandomReal[{0,100}];
  4.     y=RandomReal[{0,100}];
  5.     z=RandomReal[{0,100}];
  6.     a=x-Sqrt[y*z];
  7.     b=y-Sqrt[z*x];
  8.     c=z-Sqrt[x*y];
  9.     If[(x!=y)&&(y!=z)&&(z!=x),Print[{x,y,z,a,b,c,Sort[{a,b,c},#1>#2&]}]],
  10.     {k,100}
  11. ]
复制代码


做数学试验,最小数都小于零,也许有某种必然性在里面
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-1 16:11:19 | 显示全部楼层
假设最小数是x,则0<=x<=y,0<=x<=z, 则x^2<y*z (不同时取等号) 则a<0
同理假设最小数是y,则b<0
假设最小数是z,则c<0
最小数必然是x y z中的某一个,都有小于零的数,因此必然有小于零的,

同理,假设最大数是x,则x>=y>=0   x>=z>=0 所以x^2>y*z,则a>0
剩下的我不写了,意思到了就行。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-1 17:05:16 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2021-6-1 10:45
根据排序不等式,得知 $a+b+c = (x+y+z)- (\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}) >=0$
所以答案是C


郭老大的分析最简洁。 不失去一般性,可以设$0<=x<=y<=z$...。     我得出了$a+b+c>=0$只是必要条件。不是充分条件。

点评

我的证明最容易懂  发表于 2021-6-2 09:10
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-1 17:08:51 | 显示全部楼层
题外话,如果$a=x^2-yz, b=y^2-xz,c=z^2-xy$, 那么,  $x=\frac{a^2-b c}{\sqrt{a^3+b^3+c^3-3 a b c}}, y = \frac{b^2-a c}{\sqrt{a^3+b^3+c^3-3 a b c}},z=\frac{c^2-a b}{\sqrt{a^3+b^3+c^3-3 a b c}}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-6-21 03:01 , Processed in 0.057783 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表