正△ABC中，D是AC上的一点，E是BC上的一点，使得AD=CE，BD与AE相交于F...

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如图，正△ABC中，D、E分别是AC、BC上的一点，有AD=CE，BD与AE相交于F。∠AEC和∠CBD的平分线交点G恰好位于AC上。求证：∠ABG=∠BGF。

mathe

1. ΔABD绕正三角形中心顺时针旋转120°成ΔCAE,所以∠DFE=120°。
2. G是三角形BEF的旁心，所以FG是∠DFE的平分线，故∠DFG=60°。
3. 所以∠BGF=∠DFG-∠FBG=∠ABC-∠GBC=∠ABG

mathe

设正三角形边长为1,$/_CAE=x$, 于是$AD=CE=\frac{\sin(x)}{\sin(x+\frac{\pi}3)}$,
$\frac{CG}{AG}=\frac{CE}{AE}=\frac{\sin(x)}{\sin(\frac{\pi}3)}$,所以$CG=\frac{\sin(x)}{\sin(x)+\sin(\frac{\pi}3)}$
于是$DG=1-\frac{\sin(x)}{\sin(x)+\sin(\frac{\pi}3)}-\frac{\sin(x)}{\sin(x+\frac{\pi}3)}$
而$\frac{DG}{CG}=\frac{BD}{BC}=\frac{\sin(\frac{\pi}3)}{\sin(x+\frac{\pi}3)}$
得出方程
$(1-\frac{\sin(x)}{\sin(x)+\sin(\frac{\pi}3)}-\frac{\sin(x)}{\sin(x+\frac{\pi}3)})\sin(x+\frac{\pi}3)=\frac{\sin(x)\sin(\frac{\pi}3)}{\sin(x)+\sin(\frac{\pi}3)}$
即
$\sin(x+\frac{\pi}3)\sin(\frac{\pi}3)=\sin(x)(\sin(x)+2\sin(\frac{\pi}3))$
可以解得$/_CAE=x=0.41500719438737668555422632289031791998$
或者说$t=\cos(x)$满足方程$8t^3+8t^2-2t-11=0$

王守恩

把24个(8个小三角形)角度都标出来(∠BGE=30°)，可得 ∠ABG=∠BGF

\(\D\frac{\sin(∠FBG)\sin(∠FAB)\sin(∠FGA)\ \ \ }{\sin(∠FBA)\sin(∠FAG)\sin(∠FGB)\ \ \ }=\frac{\sin(a)\sin(2a)\sin(2a)\ \ \ }{\sin(60^\circ-2a)\sin(60^\circ-2a)\sin(60^\circ-a)\ \ \ }\equiv 1\)

记BG,CF的交点为P，求证:∠PFG=∠GFD

\(\D\frac{\sin(∠PBF)\sin(∠PEB)\sin(∠PGE)\sin(∠PFG)\ \ \ \ \ }{\sin(∠PBE)\sin(∠PEG)\sin(∠PGF)\sin(∠PFB)\ \ \ \ \ }=\frac{\sin(a)\sin(2b)\sin(c)\sin(∠PFG)\ \ \ }{\sin(a)\sin(a+c)\sin(∠PGF)\sin(2c)\ \ \ }=\frac{\sin(a)*2\sin(b)\cos(b)*\cos(a+b)*\sin(a+b)\ \ \ \ \ }{\sin(a)*\cos(b)*\sin(b)*2\sin(a+b)\cos(a+b)\ \ \ \ \ }\equiv 1\)

而：2a+2b=∠PFD=∠PFG+∠GFD=(a+b)+(a+b)

问如何证明：∠DEG=30°

补充内容 (2021-6-20 13:58):
E是三角形FDG的旁心，所以ED是∠FDG的平分线，所以∠DEG=30°

chyanog

角度相等那里，背景为黄色的表示角平分线

王守恩

求证：BG*CF*DE组成的三角形是正三角形。