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[求助] 正△ABC中,D是AC上的一点,E是BC上的一点,使得AD=CE,BD与AE相交于F...

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发表于 2021-6-19 10:23:23 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,正△ABC中,D、E分别是AC、BC上的一点,有AD=CE,BD与AE相交于F。∠AEC和∠CBD的平分线交点G恰好位于AC上。求证:∠ABG=∠BGF。
2021-06-19_091811.png
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发表于 2021-6-19 11:35:21 | 显示全部楼层
1. ΔABD绕正三角形中心顺时针旋转120°成ΔCAE,所以∠DFE=120°。
2. G是三角形BEF的旁心,所以FG是∠DFE的平分线,故∠DFG=60°。
3. 所以∠BGF=∠DFG-∠FBG=∠ABC-∠GBC=∠ABG

评分

参与人数 2威望 +24 金币 +24 贡献 +24 经验 +24 鲜花 +24 收起 理由
王守恩 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 离开旁心解不了!
uk702 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 茅塞顿开!

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发表于 2021-6-19 13:32:22 | 显示全部楼层
设正三角形边长为1,$/_CAE=x$, 于是$AD=CE=\frac{\sin(x)}{\sin(x+\frac{\pi}3)}$,
$\frac{CG}{AG}=\frac{CE}{AE}=\frac{\sin(x)}{\sin(\frac{\pi}3)}$,所以$CG=\frac{\sin(x)}{\sin(x)+\sin(\frac{\pi}3)}$
于是$DG=1-\frac{\sin(x)}{\sin(x)+\sin(\frac{\pi}3)}-\frac{\sin(x)}{\sin(x+\frac{\pi}3)}$
而$\frac{DG}{CG}=\frac{BD}{BC}=\frac{\sin(\frac{\pi}3)}{\sin(x+\frac{\pi}3)}$
得出方程
$(1-\frac{\sin(x)}{\sin(x)+\sin(\frac{\pi}3)}-\frac{\sin(x)}{\sin(x+\frac{\pi}3)})\sin(x+\frac{\pi}3)=\frac{\sin(x)\sin(\frac{\pi}3)}{\sin(x)+\sin(\frac{\pi}3)}$

$\sin(x+\frac{\pi}3)\sin(\frac{\pi}3)=\sin(x)(\sin(x)+2\sin(\frac{\pi}3))$
可以解得$/_CAE=x=0.41500719438737668555422632289031791998$
或者说$t=\cos(x)$满足方程$8t^3+8t^2-2t-11=0$
ea.png

点评

三次方有三个角?  发表于 2021-7-13 22:45
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发表于 2021-6-19 18:12:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-6-20 07:46 编辑

把24个(8个小三角形)角度都标出来(∠BGE=30°),可得 ∠ABG=∠BGF

\(\D\frac{\sin(∠FBG)\sin(∠FAB)\sin(∠FGA)\ \ \ }{\sin(∠FBA)\sin(∠FAG)\sin(∠FGB)\ \ \ }=\frac{\sin(a)\sin(2a)\sin(2a)\ \ \ }{\sin(60^\circ-2a)\sin(60^\circ-2a)\sin(60^\circ-a)\ \ \ }\equiv 1\)

记BG,CF的交点为P,求证:∠PFG=∠GFD

\(\D\frac{\sin(∠PBF)\sin(∠PEB)\sin(∠PGE)\sin(∠PFG)\ \ \ \ \ }{\sin(∠PBE)\sin(∠PEG)\sin(∠PGF)\sin(∠PFB)\ \ \ \ \ }=\frac{\sin(a)\sin(2b)\sin(c)\sin(∠PFG)\ \ \ }{\sin(a)\sin(a+c)\sin(∠PGF)\sin(2c)\ \ \ }=\frac{\sin(a)*2\sin(b)\cos(b)*\cos(a+b)*\sin(a+b)\ \ \ \ \ }{\sin(a)*\cos(b)*\sin(b)*2\sin(a+b)\cos(a+b)\ \ \ \ \ }\equiv 1\)

而:2a+2b=∠PFD=∠PFG+∠GFD=(a+b)+(a+b)

问如何证明:∠DEG=30°

补充内容 (2021-6-20 13:58):
E是三角形FDG的旁心,所以ED是∠FDG的平分线,所以∠DEG=30°
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发表于 2021-6-19 23:02:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2021-6-20 01:32 编辑

2021-06-19-23-01-08.png

角度相等那里,背景为黄色的表示角平分线

点评

用解析方法获得这些 结论吗  发表于 2021-7-20 21:57
就是Mathematica  发表于 2021-6-22 09:39
这是什么软件???????????  发表于 2021-6-21 09:38

评分

参与人数 2威望 +22 金币 +22 贡献 +22 经验 +22 鲜花 +22 收起 理由
王守恩 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 宝贵的资料!
uk702 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 不胜凡响!

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发表于 2021-6-21 16:37:32 | 显示全部楼层
求证:BG*CF*DE组成的三角形是正三角形。
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