将自然数 n 均分为几段，可证当 n 增大时各段素数个数趋于相等，素数越大越稀吗？...

TSC999

命题：  对于自然数 n， 将 0 至  n  从小到大分成相等的几段，比如 10 段，则各段所含素数个数随着 n 的增大而趋于相同。
如果上述命题成立（可以证明它成立），为啥说素数会随着 n 的增大而越来越稀呢？

先举个例子。若 n=10^14，将 0 至 n 区间分为等长的 10 段，第一段为 0 至 1×10^13，第二段为 1×10^13 至 2×10^13，......， 第十段为 9×10^13 至 10^14。
可算出各段所含素数个数依次为：

      各 段 起 始               各段所含的素数个数      各段素数占总和的百分比
   0 至  1×10^13                 346065536839                   10.7979%
1×10^13 至 2×10^13         329830372432                  10.2913%
2×10^13 至 3×10^13         324225759582                  10.1164%
3×10^13 至 4×10^13         320690302849                  10.0061%
4×10^13 至 5×10^13         318111792865                    9.9257%
5×10^13 至 6×10^13         316086663691                    9.8625%
6×10^13 至 7×10^13         314422443046                    9.8106%
7×10^13 至 8×10^13         313011242183                    9.7665%
8×10^13 至 9×10^13         311788137296                    9.7284%
9×10^13 至 10^14             310709500019                    9.6947%
      各 段 总 和                   3204941750802

如果 n 增大，比如 n=10^23，同样将 0 至 n 区间分为等长的 10 段，则上述数据为：

        各段起始                       该段所含素数个数            各段素数个数占总和百分比
    0 至  1×10^22               201467286689315906290               10.4641%
1×10^22 至 2×10^22        195915553381677286446                10.1757%
2×10^22 至 3×10^22        193925662757798080369                10.0724%
3×10^22 至 4×10^22        192655657018265030753                10.0061%
4×10^22 至 5×10^22        191722184556130626698                  9.9579%
5×10^22 至 6×10^22        190984804914521646190                  9.9196%
6×10^22 至 7×10^22        190375930826808484136                  9.8880%
7×10^22 至 8×10^22        189857777950057366559                  9.8611%
8×10^22 至 9×10^22        189407072239038116607                  9.8377%
9×10^22 至 10^23            189008461273191424875                  9.8170%
     各 段 总 和                  1925320391606803968923       

可见随着 n 的增大，各段中所含素数个数占总和的百分比，越来越趋于 10%
可以证明，当 n 趋于无穷大时，将 0 至 n 区间分为等长的 10 段，则各段中的素数个数将趋于相等。
既然如此，为啥说素数会随着 n 的增大而越来越稀呢？
有人说了，你的上述计算结果不正好说明越来越稀吗？ 我觉得稀是稀了一点，可是稀得不咋地呀，我原先受科普小书的影响，总以为会成倍的稀，或者对数函数般的稀下去，到最后会稀得一塌糊涂，拿放大镜都难找到一个。
又有人说，根据素数定理，从不大于 n 的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是  1/ln(n)，所以越到后面，素数越难发现。这是数学家说的，不能怀疑，但是这与上述数据有没有矛盾？如何解释？

风云剑

就是对数函数般的稀下去吧。然后你又做了个积分？

TSC999

对于原帖中的命题有个证明，本想以图片形式发上来，却不知为什么不能发了，以前是能发的。

gxqcn

楼主可能把两个概念搞混了：
趋同，是指各区间的概率趋同，并不关心整体的概率值随 n 的增大是更大还是更小，
稀疏，是指随着 n 增大，整体概率值的在变小，但并不影响分段区间的概率趋同，只是大家都变小了而已。

TSC999

楼上说得对！

在 0 至 10^14 这一区间，任意选一个整数，它是素数的概率约等于 3204941750802/10^14 =0.0320494175，

在 0 至 10^23 这一区间，任意选一个整数，它是素数的概率约等于 1925320391606803968923/10^23 =0.0192532039。

这表明区间越大，出现素数的概率越小，也就是说素数越稀少。

但是原命题还是正确的！即： 对于自然数 n， 将 0 至  n  从小到大分成相等的几段，比如 10 段，则各段所含素数个数随着 n 的增大而趋于相同。

这个命题也可以写成： 对于自然数 2n， 将 0 至 2n  从小到大分成相等的两段 0 至 n 和 n 至 2n，则前后两段所含素数个数随着 2n 的增大而趋于相同。

282842712474

首先，你的结论没有错，当$n$足够大的时候，$[0,n]$和$[n,2n]$的素数个数大致相等，这跟素数定义不矛盾，反而可以通过素数定理大致“证明”一下：
$$\frac{2n/\ln {2n} - n/\ln n}{n/\ln n} = \frac{\ln n - \ln 2}{\ln n + \ln 2}$$
这个极限显然是1。

所以出现这个现象，不是你的结论错了还是素数定理错了的问题，而是你对“稀疏”的定义有所不同。

我们分别考虑区间$[kd, kd+d]$和$[2kd, 2kd+d]$的素数个数之比：
$$\frac{\pi(2kd+d) - \pi(2kd)}{\pi(kd+d)-\pi(kd)}$$
这个比例可以作为是否“稀疏”的指标。现在你有两种方式推广到无限，一种是$k\to\infty$，一种是$d\to\infty$，前者结果是0，后者结果是1。所以本质上来说，这是两个方向取极限的结果不一致问题，就看哪个方向更符合我们的直观认识了。

最最本质上来说，这是因为在自然数里边“均匀分布”本身没有良好定义的（概率需要满足可数可加性，自然数的均匀分布不管怎么定义都不会满足），说白了“从自然数中选一个数，它是素数的概率是多少”这件事情本身就没有良好定义，我们都是先在不超过$N$的有限自然数内进行定义，然后让$N\to\infty$，所以这就涉及到了趋于无穷的不同方式了。

无心人

但是如果是多个固定长度区间，比如1亿分成10份，每个区间1000万，随着n增大，区间的素数个数会趋向于不均衡