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[提问] 将自然数 n 均分为几段,可证当 n 增大时各段素数个数趋于相等,素数越大越稀吗?...

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发表于 2021-6-29 22:15:20 | 显示全部楼层 |阅读模式

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命题:  对于自然数 n, 将 0 至  n  从小到大分成相等的几段,比如 10 段,则各段所含素数个数随着 n 的增大而趋于相同。
如果上述命题成立(可以证明它成立),为啥说素数会随着 n 的增大而越来越稀呢?

先举个例子。若 n=10^14,将 0 至 n 区间分为等长的 10 段,第一段为 0 至 1×10^13,第二段为 1×10^13 至 2×10^13,......, 第十段为 9×10^13 至 10^14。
可算出各段所含素数个数依次为:

      各 段 起 始               各段所含的素数个数      各段素数占总和的百分比
   0 至  1×10^13                 346065536839                   10.7979%
1×10^13 至 2×10^13         329830372432                  10.2913%
2×10^13 至 3×10^13         324225759582                  10.1164%
3×10^13 至 4×10^13         320690302849                  10.0061%
4×10^13 至 5×10^13         318111792865                    9.9257%
5×10^13 至 6×10^13         316086663691                    9.8625%
6×10^13 至 7×10^13         314422443046                    9.8106%
7×10^13 至 8×10^13         313011242183                    9.7665%
8×10^13 至 9×10^13         311788137296                    9.7284%
9×10^13 至 10^14             310709500019                    9.6947%
      各 段 总 和                   3204941750802

如果 n 增大,比如 n=10^23,同样将 0 至 n 区间分为等长的 10 段,则上述数据为:

        各段起始                       该段所含素数个数            各段素数个数占总和百分比
    0 至  1×10^22               201467286689315906290               10.4641%
1×10^22 至 2×10^22        195915553381677286446                10.1757%
2×10^22 至 3×10^22        193925662757798080369                10.0724%
3×10^22 至 4×10^22        192655657018265030753                10.0061%
4×10^22 至 5×10^22        191722184556130626698                  9.9579%
5×10^22 至 6×10^22        190984804914521646190                  9.9196%
6×10^22 至 7×10^22        190375930826808484136                  9.8880%
7×10^22 至 8×10^22        189857777950057366559                  9.8611%
8×10^22 至 9×10^22        189407072239038116607                  9.8377%
9×10^22 至 10^23            189008461273191424875                  9.8170%
     各 段 总 和                  1925320391606803968923       

可见随着 n 的增大,各段中所含素数个数占总和的百分比,越来越趋于 10%
可以证明,当 n 趋于无穷大时,将 0 至 n 区间分为等长的 10 段,则各段中的素数个数将趋于相等。
既然如此,为啥说素数会随着 n 的增大而越来越稀呢?
有人说了,你的上述计算结果不正好说明越来越稀吗? 我觉得稀是稀了一点,可是稀得不咋地呀,我原先受科普小书的影响,总以为会成倍的稀,或者对数函数般的稀下去,到最后会稀得一塌糊涂,拿放大镜都难找到一个。
又有人说,根据素数定理,从不大于 n 的自然数随机选一个,它是素数的概率大约是  1/ln(n),所以越到后面,素数越难发现。这是数学家说的,不能怀疑,但是这与上述数据有没有矛盾?如何解释?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-30 08:55:20 | 显示全部楼层
就是对数函数般的稀下去吧。然后你又做了个积分?

点评

没有做积分呀,想积分也不会啊。  发表于 2021-6-30 10:33
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 楼主| 发表于 2021-6-30 18:11:15 | 显示全部楼层
对于原帖中的命题有个证明,本想以图片形式发上来,却不知为什么不能发了,以前是能发的。
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发表于 2021-7-1 07:40:06 | 显示全部楼层
楼主可能把两个概念搞混了:
趋同,是指各区间的概率趋同,并不关心整体的概率值随 n 的增大是更大还是更小,
稀疏,是指随着 n 增大,整体概率值的在变小,但并不影响分段区间的概率趋同,只是大家都变小了而已。

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gxqcn 站长说得完全正确!  发表于 2021-7-1 09:56
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 楼主| 发表于 2021-7-1 09:51:41 | 显示全部楼层
楼上说得对!

在 0 至 10^14 这一区间,任意选一个整数,它是素数的概率约等于 3204941750802/10^14 =0.0320494175,

在 0 至 10^23 这一区间,任意选一个整数,它是素数的概率约等于 1925320391606803968923/10^23 =0.0192532039。

这表明区间越大,出现素数的概率越小,也就是说素数越稀少。

但是原命题还是正确的!即: 对于自然数 n, 将 0 至  n  从小到大分成相等的几段,比如 10 段,则各段所含素数个数随着 n 的增大而趋于相同。

这个命题也可以写成: 对于自然数 2n, 将 0 至 2n  从小到大分成相等的两段 0 至 n 和 n 至 2n,则前后两段所含素数个数随着 2n 的增大而趋于相同。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-7-1 12:29:17 | 显示全部楼层
首先,你的结论没有错,当$n$足够大的时候,$[0,n]$和$[n,2n]$的素数个数大致相等,这跟素数定义不矛盾,反而可以通过素数定理大致“证明”一下:
$$\frac{2n/\ln {2n} - n/\ln n}{n/\ln n} = \frac{\ln n - \ln 2}{\ln n + \ln 2}$$
这个极限显然是1。

所以出现这个现象,不是你的结论错了还是素数定理错了的问题,而是你对“稀疏”的定义有所不同。

我们分别考虑区间$[kd, kd+d]$和$[2kd, 2kd+d]$的素数个数之比:
$$\frac{\pi(2kd+d) - \pi(2kd)}{\pi(kd+d)-\pi(kd)}$$
这个比例可以作为是否“稀疏”的指标。现在你有两种方式推广到无限,一种是$k\to\infty$,一种是$d\to\infty$,前者结果是0,后者结果是1。所以本质上来说,这是两个方向取极限的结果不一致问题,就看哪个方向更符合我们的直观认识了。

最最本质上来说,这是因为在自然数里边“均匀分布”本身没有良好定义的(概率需要满足可数可加性,自然数的均匀分布不管怎么定义都不会满足),说白了“从自然数中选一个数,它是素数的概率是多少”这件事情本身就没有良好定义,我们都是先在不超过$N$的有限自然数内进行定义,然后让$N\to\infty$,所以这就涉及到了趋于无穷的不同方式了。
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发表于 2021-7-3 10:30:50 | 显示全部楼层
但是如果是多个固定长度区间,比如1亿分成10份,每个区间1000万,随着n增大,区间的素数个数会趋向于不均衡
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