自行车扫过的面积

wayne

假设自行车的长度是3. 自行车后轮运动的轨迹方程是椭圆$x^2/{16}+y^2=1$，求自行车扫过的面积(即前轮轨迹 和后轮轨迹之间的阴影面积)
如果后轮轨迹方程是 双曲线$y^2/{3}-x^2=1$呢？

mathe

两者面积应该是4倍关系

倪举鹏

这个方程应该很好表示，切线截定长

yigo

取任意曲线上的一个微段ds，微段对应的圆心角为da，微段的曲率半径R，从切点沿切线方向延伸定长L，则定长切线在微段上扫过的面积为dA=1/2Rds*(L^2/R^2)=1/2*l^2*ds/R=1/2*L^2*da。沿角度积分就可以得到扫过的面积。
对于闭合的形状，积分为πL^2。

wayne

楼上的很给力。
有一个细节不是特别理解，就是 定长切线在微段上扫过的面积为$dA=1/2Rds*(L^2/R^2)$, 这块的公式没太明白。是按照面积 等比例缩放吗
如果是我，我会直接写成$dA = 1/2*L^2*da$,然后$da$既是微段$ds$对应的定长切线的角度变化(扫过的角度)，也是微段$ds$对应的曲率圆心角。

wayne

Mamikon’s Theorem ：
The area of a tangent sweep is equal to the area of its tangent cluster, regardless of the shape of the original curve.
（不论原始曲线的形状如何，切线扫描的面积等于其切线簇的面积。）

美国大学生Mamikon Mnatsakanian在大学本科阶段发现了该定理，并经过了其他人的努力，最终解决了许多用传统微积分无法完成的计算。此定理被誉为无需证明的定理。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/39154109

倪举鹏

第一问9pi     第二问3*pi/2

倪举鹏

r^2/2*积分D[D[y, x], x]/(1 + (D[y, x])^2)