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[分享] 自行车扫过的面积

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发表于 2021-8-21 23:22:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

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假设自行车的长度是3. 自行车后轮运动的轨迹方程是椭圆$x^2/{16}+y^2=1$,求自行车扫过的面积(即前轮轨迹 和后轮轨迹之间的阴影面积)
如果后轮轨迹方程是 双曲线$y^2/{3}-x^2=1$呢?

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-8-22 09:06:38 | 显示全部楼层
两者面积应该是4倍关系

点评

是的  发表于 2021-8-22 12:19
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发表于 2021-8-24 11:19:30 | 显示全部楼层
这个方程应该很好表示,切线截定长
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发表于 2021-8-24 16:38:55 | 显示全部楼层
取任意曲线上的一个微段ds,微段对应的圆心角为da,微段的曲率半径R,从切点沿切线方向延伸定长L,则定长切线在微段上扫过的面积为dA=1/2Rds*(L^2/R^2)=1/2*l^2*ds/R=1/2*L^2*da。沿角度积分就可以得到扫过的面积。
对于闭合的形状,积分为πL^2。

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wayne + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 很给力!

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 楼主| 发表于 2021-8-25 08:55:15 | 显示全部楼层
楼上的很给力。
有一个细节不是特别理解,就是 定长切线在微段上扫过的面积为$dA=1/2Rds*(L^2/R^2)$, 这块的公式没太明白。是按照面积 等比例缩放吗
如果是我,我会直接写成$dA = 1/2*L^2*da$,然后$da$既是微段$ds$对应的定长切线的角度变化(扫过的角度),也是微段$ds$对应的曲率圆心角。

点评

soga  发表于 2021-8-25 21:08
因为在圆上,定长切线终点的轨迹是一个同心圆,半径是(R^2+L^2)^(1/2)  发表于 2021-8-25 09:34
以微段的曲率半径拓展为圆来分析就比较清晰了,对于圆来说,微段扫过的面积和微段与圆心角组成的扇形面积比例,跟在整个圆上扫过的面积与圆的面积比例是一样的都是L^2/R^2,这是比较显然的。  发表于 2021-8-25 09:32
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 楼主| 发表于 2021-8-25 09:02:31 | 显示全部楼层
Mamikon’s Theorem :
The area of a tangent sweep is equal to the area of its tangent cluster, regardless of the shape of the original curve.
(不论原始曲线的形状如何,切线扫描的面积等于其切线簇的面积。)

美国大学生Mamikon Mnatsakanian在大学本科阶段发现了该定理,并经过了其他人的努力,最终解决了许多用传统微积分无法完成的计算。此定理被誉为无需证明的定理。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/39154109
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发表于 2021-8-27 10:13:51 | 显示全部楼层
第一问9pi     第二问3*pi/2
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发表于 2021-8-27 10:20:01 | 显示全部楼层
r^2/2*积分D[D[y, x], x]/(1 + (D[y, x])^2)
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