PID上有限生成模的生成元问题

日立石凡

记号：$F$ 素域          $F^n$：$F$上的n维线性空间

         $F[\la]$: $F$上的多项式环      

         $A$：   $F$上的n维方阵

已知 线性变换$A$下，$F^n$可视作一个$F[\lambda]$-模。$\xi_1,...,\xi_n$是$F^n$（作为线性空间）的一组基。显然，作为$F[\lambda]$-模，$F^n$是有限生成的，一组基本身也是一个生成元集合。问题：如何从$\xi_1,...,\xi_n$中挑选出一个子集，使得该子集生成$F^n$？

当$F^n$是循环模时，问题是简单的。设$F^n$的素循环模直和分解为：

$F^n=V_1 \oplus V_2 \oplus...\oplus V_r$

不妨设$\xi_i （i=1,...,r）$在$V_i$上的投影为$V_i$的生成元，易证$\xi_1,...,\xi_r$构成一个循环模$F^n$的生成元集合。

当$F^n$非循环时，如何由$\xi_1,...,\xi_n$构造一个生成元集合呢？