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[求助] PID上有限生成模的生成元问题

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发表于 2021-9-2 22:46:03 | 显示全部楼层 |阅读模式

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记号:$F$ 素域          $F^n$:$F$上的n维线性空间

         $F[\la]$: $F$上的多项式环      

         $A$:   $F$上的n维方阵

已知 线性变换$A$下,$F^n$可视作一个$F[\lambda]$-模。$\xi_1,...,\xi_n$是$F^n$(作为线性空间)的一组基。显然,作为$F[\lambda]$-模,$F^n$是有限生成的,一组基本身也是一个生成元集合。问题:如何从$\xi_1,...,\xi_n$中挑选出一个子集,使得该子集生成$F^n$?

当$F^n$是循环模时,问题是简单的。设$F^n$的素循环模直和分解为:

$F^n=V_1 \oplus V_2 \oplus...\oplus V_r$

不妨设$\xi_i (i=1,...,r)$在$V_i$上的投影为$V_i$的生成元,易证$\xi_1,...,\xi_r$构成一个循环模$F^n$的生成元集合。

当$F^n$非循环时,如何由$\xi_1,...,\xi_n$构造一个生成元集合呢?

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