用 mathematica 解三角方程 sin(α1) cos(α1+θ)=sin(α2) cos(α2+θ) 为何漏解

TSC999

【方法一】用 mathematica 解这个方程：

1. FullSimplify@
   
2. Reduce[{Sin[\[Alpha]1] Cos[\[Alpha]1 + \[Theta]] ==
   
3.     Sin[\[Alpha]2] Cos[\[Alpha]2 + \[Theta]],
   
4.    Element[{\[Theta]}, Reals]}, {\[Alpha]1}]

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运行结果是：


整理上述软件得到的通解，结果是:



【方法二】下面用手工方法解这个方程：



经检验， mathematica 的解 [3] 式和手工解 [9] 式都正确。但比较 [3] 和 [9] 式，发现 mathematica 的解答 [3] 漏掉了一些解。问题出在哪里了？

TSC999

软件解是 \( α1=-α2-θ+\frac{4k±1}{2}π\)，
手工算是 \( α1=-α2-θ+\frac{2k±1}{2}π\)，
可见软件解的个数比手工的少了。

wayne

1. TrigFactor[Sin[\[Alpha]1] Cos[\[Alpha]1+\[Theta]]-Sin[\[Alpha]2] Cos[\[Alpha]2+\[Theta]]]

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所以 \[\sin (\text{$\alpha $1}-\text{$\alpha $2}) \cos (\text{$\alpha $1}+\text{$\alpha $2}+\theta ) =0\]

TSC999

今天找到了发生错误的原因，mathematica 的四个通解没有问题，在人工合并第三、第四个解时，正确的合并如下：