训练营成员的能力值分布

mathe

$c_3=864$没有错，是浮点模拟代码弄错了，一个循环花括号加错地方了，导致$h>=3$的计算结果错误。
继续计算可以得出
$c_1=2, c_2=27, c_3=864,c_4=50000,c_5=4556250, c_6=600362847, c_7=107943428096, c_8=25389989167104, c_9=7566806425781250$
$c_{10}=2786246783310546875, c_{11}=1242122809681350254592, c_{12}=659293182044133484843008$
而n充分大时，k个人的概率趋向$\frac{c_k}{n^k} (\frac{k}{k+1})^n $

这里的结果我还是数值计算得出的，另外根据19#的递推式，使用可以求级数和极限的数学工具（比如Mathematica）应该可以一次得出$\lambda_{n,h}$的公式以及$c_n$的公式解

mathe

根据19#的信息我们有\(\lambda_{m,h}=\frac{(h+1)}2 (\frac h{h-1})^h \sum_{s=h}^{m}(\frac{h^2-1}{h^2})^s \lambda_{s-1,h-1}\)
而且\(\lambda_{m,1}=2\)
于是\(\lambda_{m,2}=12\sum_{s=2}^{m}(\frac34)^m=27(1-(\frac34)^{m-1})=27\times 1^m -36\times (\frac34)^m\)
设\(\lambda_{m,h}=\sum_{t=1}^h a_{h,t} d_{h,t}^m\), 于是\(a_{1,1}=2,d_{1,1}=1\)
得出\(\lambda_{m,h}=\frac{(h+1)}2 (\frac h{h-1})^h \sum_{s=h}^{m}(\frac{h^2-1}{h^2})^s\sum_{t=1}^{h-1} a_{h-1,t} d_{h-1,t}^{s-1}\)
即
\(\lambda_{m,h}=\frac{(h+1)}2 (\frac h{h-1})^h\sum_{t=1}^{h-1}\frac{a_{h-1,t}}{d_{h-1,t}} \sum_{s=h}^{m}(\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2})^s = \frac{(h+1)}2 (\frac h{h-1})^h\sum_{t=1}^{h-1}\frac{a_{h-1,t}}{d_{h-1,t}}(\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2})^h\frac{1-(\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2})^{m-h+1}}{1-\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2}}\)
于是\(d_{h,1}=1,c_h=a_{h,1}= \frac{h+1}2 (\frac h{h-1})^h\sum_{t=1}^{h-1}\frac{a_{h-1,t}}{d_{h-1,t}}(\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2})^h\frac{1}{1-\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2}}\)
\(d_{h,t+1}=\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2}, a_{h,t+1}= -\frac{h+1}2 (\frac h{h-1})^h\frac{a_{h-1,t}}{d_{h-1,t}}\frac{(h^2-1)d_{h-1,t}}{h^2-(h^2-1)d_{h-1,t}}\)

1. genv(n)=
   
2. {
   
3.     local(a1,d1,a2,d2,r);
   
4.     a1=vector(1);
   
5.     d1=vector(1);
   
6.     r=vector(n);
   
7.     a1[1]=2;d1[1]=1;
   
8.     r[1]=a1[1];
   
9.     for(h=2,n,
   
10.          a2=vector(h); d2=vector(h);
    
11.          d2[1]=1;
    
12.          for(t=1,h-1,
    
13.              a2[1]+=(h+1)/2 *(h/(h-1))^h *a1[t]/d1[t]*((h^2-1)*d1[t]/h^2)^h/(1-(h^2-1)*d1[t]/h^2)
    
14.          );
    
15.          for(t=1,h-1,
    
16.              d2[t+1]=(h^2-1)*d1[t]/h^2;
    
17.              a2[t+1]=-(h+1)/2*(h/(h-1))^h*a1[t]/d1[t]*(h^2-1)*d1[t]/(h^2-(h^2-1)*d1[t])
    
18.          );
    
19.          r[h]=a2[1];
    
20.          a1=a2;d1=d2;
    
21.     );
    
22.     r
    
23. }

复制代码

? genv(50)
%6 = [2, 27, 864, 50000, 4556250, 600362847, 107943428096, 25389989167104, 7566806425781250, 2786246783310546875, 1242122809681350254592, 659293182044133484843008, 410833770964932493116077594, 296989739915909608245849609375, 246512345193381888000000000000000, 232847433448573610975735274234970112, 248328650821647517484559422531106576834, 296950176680749350845339408306841923022459, 395683931132062717824795800000000000000000000, 584258701838598252138112442100000000000000000000, 951205293656954973565197384824405630472667563024282, 1699727503671546874502191962835314908599019338945363007, 3319862748238402997309922435150179539668438018929222221824, 7060738412025000000000000000000000000000000000000000000000000, 16295112848977420700151628808960424521501408889889717102050781250, 40676988462440127925550877309024599969847783469908548991508712683227, 109505675100448610564107985355773618118040166650289315714453953509851136, 317049401764517906315174510179323676712419060190552965811140836388518232064, 984713079292543354810205489016418279126309895985651495644822716712951660156250, 3273032219796723958589391783575965056497407422385033183879888616502285003662109375, 11616677949176310039418695093654600919384069620970067940485727621476755133998743683072, 43933870034320572131973751428776793562611867780429555334012149806123706833311785893756928, 176706831013955285569266015037144353964266957683886803916545002608120937973553916616944039554, 754475044107975487652455546120708769445214316933902410586401610819088082644157111644744873046875, 3413671541780902246808182005226601219181832081254182129763290185200000000000000000000000000000000000, 16340824819469675898253424336811014660000376571580144717535385856909480802408346042548517680436784136192, 82628643361479764610171315668890351820982612849068883551939594544250439989175753411003951212252918343227994, 440713658463647017480030673335380039884034370651177603023096065667936888692454520955841072221718182965428341919, 2475993477314013042596428094121670552434478770758860554008839016633000263680000000000000000000000000000000000000000, 14633154300276392504987760171337717002709603610930271779820413700035735359324160000000000000000000000000000000000000000, 90861206647310593975046369201992922060880998766766427349023307181135999458357536285947969183057159342168096938667777624962, 592043978978244726681190459772586138806847875017289297960373370392575491958216540857606719433339597596418942038618582303512187, 4043631227304256025969031353880922196243045305927127386300587312578583746830627973473415400621545939655602521023557482309467766784, 28917522093812328389876284981792652558488672415832439208508930480881069676324668394550204500000000000000000000000000000000000000000000, 216308493361459864091953421940961996055094967894771363505525871589824305041389738181723859671586960670172231857577571645379066467285156250, 1690751493744952779151353887815188763743383807222507058600561921778489226136665049815282124380475599423938505219166283927700996895161162983007, 13796499857682989832285544395268071523230378565248982883955571545130742573731937761887468250727702347898513337439141238579330605285406342199115776, 117421472850725564983177252355135375075360983615267359810665655690633208812404871431461425801633770233897394203195098093637996000045631046808737153024, 1041449823387218486698822455160228066538384264822898747925582793500876214622038259830356448450757379174789232475009659317777277465211227536201477050781250, 9617881337926556018914554110624278629741206581064131328521647229122776923892401983831453645059115173950856161018472915980037640792943420819938182830810546875]
验算得到
\(c_h = (\frac h2)^h(h+1)^{h+1}\)
也就是n次加入尝试，余下h个人的概率在n比较大时趋向\((\frac h{2n})^h(h+1)^{h+1}(\frac h{h+1})^n\)

KeyTo9_Fans

跑了$10$天的程序模拟了$7.26$亿次$1$万人闯营的情况，

得到营中成员总数的期望值的$95%$置信区间为$2153.002\pm0.014$

营中成员的平均能力值随闯营人数$n$的变化规律为：

$f(n)=1-1/(0.798+0.476*ln(n+5.78*ln(n)-18.2))$

具体的模拟结果和函数$f(n)$的值如下表所示：

闯营人数  平均能力值  $f(n)$的值
$\ \ 100$    $0.669758$  $0.669579$
$\ 1000$   $0.755718$  $0.755697$
$10000$  $0.806955$  $0.806940$
$\ \ \ 10^90$     无法模拟    $0.989934$
$\ \ \ 10^91$     无法模拟    $0.990044$

也就是说，想要平均能力值达到$0.99$，大约需要$4*10^90$个成员尝试闯营才可以。

平均能力值的拟合曲线如下图所示：



注：营中成员总数、闯营人数 和 平均能力值 都包括了能力值为$0$的初始成员。

王守恩

天冷了，活动活动。

第0次：\(0\)
第1次：\(\frac{1}{2}\)
第2次：\(\frac{1}{2}*2^2+\frac{2}{3}\)
第3次：\(\frac{1}{2}*3^3+\frac{2}{3}*2^2+\frac{3}{4}\)
第4次：\(\frac{1}{2}*4^4+\frac{2}{3}*3^3+\frac{3}{4}*2^2+\frac{4}{5}\)
第5次：\(\frac{1}{2}*5^5+\frac{2}{3}*4^4+\frac{3}{4}*3^3+\frac{4}{5}*2^2+\frac{5}{6}\)
第6次：\(\frac{1}{2}*6^6+\frac{2}{3}*5^5+\frac{3}{4}*4^4+\frac{4}{5}*3^3+\frac{5}{6}*2^2+\frac{6}{7}\)
第7次：\(\frac{1}{2}*7^7+\frac{2}{3}*6^6+\frac{3}{4}*5^5+\frac{4}{5}*4^4+\frac{5}{6}*3^3+\frac{6}{7}*2^2+\frac{7}{8}\)
第8次：\(\frac{1}{2}*8^8+\frac{2}{3}*7^7+\frac{3}{4}*6^6+\frac{4}{5}*5^5+\frac{5}{6}*4^4+\frac{6}{7}*3^3+\frac{7}{8}*2^2+\frac{8}{9}\)
第9次：\(\frac{1}{2}*9^9+\frac{2}{3}*8^8+\frac{3}{4}*7^7+\frac{4}{5}*6^6+\frac{5}{6}*5^5+\frac{6}{7}*4^4+\frac{7}{8}*3^3+\frac{8}{9}*2^2+\frac{9}{10}\)
...........
随着次数的增加，每次的平均数会向  "\(\frac{1}{2}\)"  靠拢。

第0次：\(0\)
第1次：\(\frac{1}{2}\)
第2次：\(\frac{1}{2}*2^3+\frac{2}{3}\)
第3次：\(\frac{1}{2}*3^3+\frac{2}{3}*2^3+\frac{3}{4}\)
第4次：\(\frac{1}{2}*4^3+\frac{2}{3}*3^3+\frac{3}{4}*2^3+\frac{4}{5}\)
第5次：\(\frac{1}{2}*5^3+\frac{2}{3}*4^3+\frac{3}{4}*3^3+\frac{4}{5}*2^3+\frac{5}{6}\)
第6次：\(\frac{1}{2}*6^3+\frac{2}{3}*5^3+\frac{3}{4}*4^3+\frac{4}{5}*3^3+\frac{5}{6}*2^3+\frac{6}{7}\)
第7次：\(\frac{1}{2}*7^3+\frac{2}{3}*6^3+\frac{3}{4}*5^3+\frac{4}{5}*4^3+\frac{5}{6}*3^3+\frac{6}{7}*2^3+\frac{7}{8}\)
第8次：\(\frac{1}{2}*8^3+\frac{2}{3}*7^3+\frac{3}{4}*6^3+\frac{4}{5}*5^3+\frac{5}{6}*4^3+\frac{6}{7}*3^3+\frac{7}{8}*2^3+\frac{8}{9}\)
第9次：\(\frac{1}{2}*9^3+\frac{2}{3}*8^3+\frac{3}{4}*7^3+\frac{4}{5}*6^3+\frac{5}{6}*5^3+\frac{6}{7}*4^3+\frac{7}{8}*3^3+\frac{8}{9}*2^3+\frac{9}{10}\)
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随着次数的增加，每次的平均数会向  "1"  靠拢。

第0次：\(0\)
第1次：\(1\)
第2次：\(\frac{1}{2}*2^2+1\)
第3次：\(\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第4次：\(\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第5次：\(\frac{1}{5}*5^5+\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第6次：\(\frac{1}{6}*6^6+\frac{1}{5}*5^5+\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第7次：\(\frac{1}{7}*7^7+\frac{1}{6}*6^6+\frac{1}{5}*5^5+\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第8次：\(\frac{1}{8}*8^8+\frac{1}{7}*7^7+\frac{1}{6}*6^6+\frac{1}{5}*5^5+\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
第9次：\(\frac{1}{9}*9^9+\frac{1}{8}*8^8+\frac{1}{7}*7^7+\frac{1}{6}*6^6+\frac{1}{5}*5^5+\frac{1}{4}*4^4+\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*2^2+1\)
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随着次数的增加，每次的平均数会向  "0"  靠拢。

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-8 17:36
天冷了，活动活动。

第0次：\(0\)

第0次： 0
第1次:  \(\frac{1}{03}\)
第2次：\(\frac{1}{06}*2^1+\frac{3}{05}\)
第3次：\(\frac{1}{09}*3^2+\frac{3}{08}*3^1+\frac{5}{07}\)
第4次：\(\frac{1}{12}*4^3+\frac{3}{11}*4^2+\frac{5}{10}*4^1+\frac{7}{09}\)
第5次：\(\frac{1}{15}*5^4+\frac{3}{14}*5^3+\frac{5}{13}*5^2+\frac{7}{12}*5^1+\frac{9}{11}\)
第6次：\(\frac{1}{18}*6^5+\frac{3}{17}*6^4+\frac{5}{16}*6^3+\frac{7}{15}*6^2+\frac{9}{14}*6^1+\frac{11}{13}\)
第7次：\(\frac{1}{21}*7^6+\frac{3}{20}*7^5+\frac{5}{19}*7^4+\frac{7}{18}*7^3+\frac{9}{17}*7^2+\frac{11}{16}*7^1+\frac{13}{15}\)
第8次：\(\frac{1}{24}*8^7+\frac{3}{23}*8^6+\frac{5}{22}*8^5+\frac{7}{21}*8^4+\frac{9}{20}*8^3+\frac{11}{19}*8^2+\frac{13}{18}*8^1+\frac{15}{17}\)
第9次：\(\frac{1}{27}*9^8+\frac{3}{26}*9^7+\frac{5}{25}*9^6+\frac{7}{24}*9^5+\frac{9}{23}*9^4+\frac{11}{22}*9^3+\frac{13}{21}*9^2+\frac{15}{20}*9^1+\frac{17}{19}\)
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随着次数的增加，每次的平均数会向  "0"  靠拢。

第0次： 0
第1次:  \(\frac{1}{03}\)
第2次：\(\frac{1}{06}*2^1+\frac{3}{05}\)
第3次：\(\frac{1}{09}*3^2+\frac{3}{08}*2^4+\frac{5}{07}\)
第4次：\(\frac{1}{12}*4^3+\frac{3}{11}*3^5+\frac{5}{10}*2^7+\frac{7}{09}\)
第5次：\(\frac{1}{15}*5^4+\frac{3}{14}*4^6+\frac{5}{13}*3^8+\frac{7}{12}*2^{10}+\frac{9}{11}\)
第6次：\(\frac{1}{18}*6^5+\frac{3}{17}*5^7+\frac{5}{16}*4^9+\frac{7}{15}*3^{11}+\frac{9}{14}*2^{13}+\frac{11}{13}\)
第7次：\(\frac{1}{21}*7^6+\frac{3}{20}*6^8+\frac{5}{19}*5^{10}+\frac{7}{18}*4^{12}+\frac{9}{17}*3^{14}+\frac{11}{16}*2^{16}+\frac{13}{15}\)
第8次：\(\frac{1}{24}*8^7+\frac{3}{23}*7^9+\frac{5}{22}*6^{11}+\frac{7}{21}*5^{13}+\frac{9}{20}*4^{15}+\frac{11}{19}*3^{17}+\frac{13}{18}*2^{19}+\frac{15}{17}\)
第9次：\(\frac{1}{27}*9^8+\frac{3}{26}*8^{10}+\frac{5}{25}*7^{12}+\frac{7}{24}*6^{14}+\frac{9}{23}*5^{16}+\frac{11}{22}*4^{18}+\frac{13}{21}*3^{20}+\frac{15}{20}*2^{22}+\frac{17}{19}\)
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随着次数的增加，每次的平均数会向  "?"  靠拢。

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-11 07:37
第0次： 0
第1次:  \(\frac{1}{03}\)
第2次：\(\frac{1}{06}*2^1+\frac{3}{05}\)

第0次： 0
第1次:  \(\frac{1}{03}*02^1+\frac{1}{02}\)
第2次：\(\frac{2}{05}*03^2+\frac{2}{04}*2^1+\frac{03}{04}\)
第3次：\(\frac{3}{07}*04^3+\frac{3}{06}*3^2+\frac{04}{06}*2^1+\frac{04}{05}\)
第4次：\(\frac{4}{09}*05^4+\frac{4}{08}*4^3+\frac{05}{08}*3^2+\frac{05}{07}*2^1+\frac{06}{07}\)
第5次：\(\frac{5}{11}*06^5+\frac{5}{10}*5^4+\frac{06}{10}*4^3+\frac{06}{09}*3^2+\frac{07}{09}*2^1+\frac{07}{08}\)
第6次：\(\frac{6}{13}*07^6+\frac{6}{12}*6^5+\frac{07}{12}*5^4+\frac{07}{11}*4^3+\frac{08}{11}*3^2+\frac{08}{10}*2^1+\frac{09}{10}\)
第7次：\(\frac{7}{15}*08^7+\frac{7}{14}*7^6+\frac{08}{14}*6^5+\frac{08}{13}*5^4+\frac{09}{13}*4^3+\frac{09}{12}*3^2+\frac{10}{12}*2^1+\frac{10}{11}\)
第8次：\(\frac{8}{17}*09^8+\frac{8}{16}*8^7+\frac{09}{16}*7^6+\frac{09}{15}*6^5+\frac{10}{15}*5^4+\frac{10}{14}*4^3+\frac{11}{14}*3^2+\frac{11}{13}*2^1+\frac{12}{13}\)
第9次：\(\frac{9}{19}*10^9+\frac{9}{18}*9^8+\frac{10}{18}*8^7+\frac{10}{17}*7^6+\frac{11}{17}*6^5+\frac{11}{16}*5^4+\frac{12}{16}*4^3+\frac{12}{15}*3^2+\frac{13}{15}*2^1+\frac{13}{14}\)
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随着次数的增加，每次的平均数会向  "\(\frac{1}{2}\)"  靠拢。