关于素数和e的极限

majer

前天在微博上看到一个题目。
记\(P_n\)为第\(n\)个素数，
则

\[\displaystyle\lim_{m \to \infty}  \frac{\D\sum_{n=1}^m \ln P_n}{P_m} =1\]

原题形式其实是，连乘积开\(P_n\)次方，极限为\(e\)。我给取对数了。

形式上和素数定理有点接近，

\[\displaystyle \sum_{P＜x} \frac{\ln P}{P-1} ≈\ln x+1\]

mathe

证明比较难，可以猜测:
\(\lim_{m\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^m \ln(P_k)}{P_m}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sum_{p\lt x}\ln(P)}x =\lim_{x\to\infty}\frac{\int_1^x \ln(t)d\pi(t)}x \approx \lim_{x\to\infty}\frac{\int_1^x \ln(t)d li(t)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{\int_1^x \frac{\ln(t)}{\ln(t)}d t}x=1\)