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[讨论] 关于素数和e的极限

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发表于 2021-11-8 16:06:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

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前天在微博上看到一个题目。
记\(P_n\)为第\(n\)个素数,


\[\displaystyle\lim_{m \to \infty}  \frac{\D\sum_{n=1}^m \ln P_n}{P_m} =1\]

原题形式其实是,连乘积开\(P_n\)次方,极限为\(e\)。我给取对数了。

形式上和素数定理有点接近,

\[\displaystyle \sum_{P<x} \frac{\ln P}{P-1} ≈\ln x+1\]

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-8 16:52:26 | 显示全部楼层
证明比较难,可以猜测:
\(\lim_{m\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^m \ln(P_k)}{P_m}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sum_{p\lt x}\ln(P)}x =\lim_{x\to\infty}\frac{\int_1^x \ln(t)d\pi(t)}x \approx \lim_{x\to\infty}\frac{\int_1^x \ln(t)d li(t)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{\int_1^x \frac{\ln(t)}{\ln(t)}d t}x=1\)
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