三角形的最小内接正三角形

倪举鹏

三角形的内接三角形要求内三角形的顶点分处外三角形的三条边上。
驻点条件：`\cos a\cos b\cos c=\cos(2\pi/3-a)\cos(2\pi/3-b)\cos(2\pi/3-c)`
计算300，400，500三角形内最小正三角形的边长，用工程软件画图验证了上述驻点条件正确。

倪举鹏

如果是其他形状三角形，需要满足cos(a)*cos(b)*cos(c)=cos(pi-a的临近角-a)*cos(pi-b的临近角-b)*cos(pi-c的临近角-c)

nyy

1. (*任意三角形内最小的等边三角形*)
   
2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-18174-1-1.html*)
   
3. Clear["Global`*"];
   
4. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
5. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
6. aaa=Minimize[{x,a+b==300&&c+d==400&&e+f==500&&(*两段长度相加等于某一边*)
   
7.     cs[a,f,x]==300/500&&cs[b,c,x]==0&&cs[d,e,x]==400/500&&(*余弦定理*)
   
8.     a>0&&b>0&&c>0&&d>0&&e>0&&f>0&&x>0(*限制变量范围*)
   
9. },
   
10. {a,b,c,d,e,f,x}]//FullSimplify
    
11. bbb=N@aaa
    

复制代码

求解结果：
\[\left\{1200 \sqrt{\frac{1}{193} \left(25-12 \sqrt{3}\right)},\left\{a\to \frac{1}{193} (-300) \left(54 \sqrt{3}-209\right),b\to \frac{600}{193} \left(27 \sqrt{3}-8\right),c\to \frac{600}{193} \left(64 \sqrt{3}-69\right),d\to \frac{200}{193} \left(593-192 \sqrt{3}\right),e\to \frac{1}{193} (-1000) \left(21 \sqrt{3}-92\right),f\to \frac{1500}{193} \left(14 \sqrt{3}+3\right),x\to 1200 \sqrt{\frac{1}{193} \left(25-12 \sqrt{3}\right)}\right\}\right\}\]

数值化结果
\[\{177.346,\{a\to 179.486,b\to 120.514,c\to 130.108,d\to 269.892,e\to 288.222,f\to 211.778,x\to 177.346\}\}\]

倪举鹏

微扰法得到的上面结论，还有没有更简单方法

nyy

倪举鹏 发表于 2021-11-18 15:56
微扰法得到的上面结论，还有没有更简单方法

微扰法是什么意思？难道还有比拉格朗日乘子法更简单的办法吗？？？？？？？？？

nyy

倪举鹏 发表于 2021-11-18 11:55
需要满足cos(a)*cos(b)*cos(c)=cos(pi*2/3-a)*cos(pi*2/3-b)*cos(pi*2/3-c)

你就一个方程，能解出来三个未知数吗？？？？？？？？？？？？？
要不你解给我看看

倪举鹏

p := 3-x*sin(alpha);
                        3 - x sin(alpha)
q := 4-x*cos(alpha);
                        4 - x cos(alpha)
solve({(m^2+p^2-x^2)/(2*m*p) = .6, (n^2+q^2-x^2)/(2*n*q) = .8, cos(alpha)*(n^2-q^2+x^2)*(-m^2+p^2+x^2)*(2*x*q)*(2*x*m)/((2*x*n)*(2*x*p)*sin(alpha)*(-n^2+q^2+x^2)*(m^2-p^2+x^2)) = 1, m+n = 5}, {alpha, m, n, x});
{alpha = 0.2955834917, m = -1.651454247, n = 6.651454247,

   x = -5.844701686}, {alpha = 0.7471383866, m = 2.117775490,

   n = 2.882224510, x = 1.773460369}, {alpha = -2.846009162,

   m = -1.651454247, n = 6.651454247, x = 5.844701686}, {

   alpha = -2.394454267, m = 2.117775490, n = 2.882224510,

   x = -1.773460369}
是正三角形的时候，如果确定a,那么b,c也确定了，所以再满足上面等式就可以了。上面没有放出abc的关系等式

markfang2050

上述全是在找精确解。方向错了、此类问题实质是带限制条件的多元最优化问题。

nyy

markfang2050 发表于 2021-11-20 21:18
上述全是在找精确解。方向错了、此类问题实质是带限制条件的多元最优化问题。

我不就是用优化做的吗？

markfang2050

原题目需要改为“求任意三角形内面积最大的等边三角形”才对。