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[讨论] 任意三角形内最小的等边三角形

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发表于 2021-11-18 11:53:50 | 显示全部楼层 |阅读模式

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需要满足一个等式,怎么发不上来。工程画图软件验证了的
QQ图片20211118112245.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-11-18 11:55:03 | 显示全部楼层
需要满足cos(a)*cos(b)*cos(c)=cos(pi*2/3-a)*cos(pi*2/3-b)*cos(pi*2/3-c)
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 楼主| 发表于 2021-11-18 11:57:13 | 显示全部楼层
用上面等式计算出300,400,500三角形内最小正三角形的边长,然后工程软件画图,发现不能用更小的数字定义边长,就验证了上面等式正确
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发表于 2021-11-18 12:05:53 | 显示全部楼层
任意三角形内最小的等边三角形就是三角形内某一个点.

点评

定义有问题  发表于 2021-11-18 15:51
是我抖机灵还是你的定义有问题?  发表于 2021-11-18 15:27
别抖机灵,三角要在边上  发表于 2021-11-18 14:39
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 楼主| 发表于 2021-11-18 15:43:35 | 显示全部楼层
如果是其他形状三角形,需要满足cos(a)*cos(b)*cos(c)=cos(pi-a的临近角-a)*cos(pi-b的临近角-b)*cos(pi-c的临近角-c)
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发表于 2021-11-18 15:47:10 | 显示全部楼层
  1. (*任意三角形内最小的等边三角形*)
  2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-18174-1-1.html*)
  3. Clear["Global`*"];
  4. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  5. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  6. aaa=Minimize[{x,a+b==300&&c+d==400&&e+f==500&&(*两段长度相加等于某一边*)
  7.     cs[a,f,x]==300/500&&cs[b,c,x]==0&&cs[d,e,x]==400/500&&(*余弦定理*)
  8.     a>0&&b>0&&c>0&&d>0&&e>0&&f>0&&x>0(*限制变量范围*)
  9. },
  10. {a,b,c,d,e,f,x}]//FullSimplify
  11. bbb=N@aaa
复制代码


求解结果:
\[\left\{1200 \sqrt{\frac{1}{193} \left(25-12 \sqrt{3}\right)},\left\{a\to \frac{1}{193} (-300) \left(54 \sqrt{3}-209\right),b\to \frac{600}{193} \left(27 \sqrt{3}-8\right),c\to \frac{600}{193} \left(64 \sqrt{3}-69\right),d\to \frac{200}{193} \left(593-192 \sqrt{3}\right),e\to \frac{1}{193} (-1000) \left(21 \sqrt{3}-92\right),f\to \frac{1500}{193} \left(14 \sqrt{3}+3\right),x\to 1200 \sqrt{\frac{1}{193} \left(25-12 \sqrt{3}\right)}\right\}\right\}\]

数值化结果
\[\{177.346,\{a\to 179.486,b\to 120.514,c\to 130.108,d\to 269.892,e\to 288.222,f\to 211.778,x\to 177.346\}\}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2021-11-18 15:56:27 | 显示全部楼层
微扰法得到的上面结论,还有没有更简单方法
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发表于 2021-11-18 16:02:11 | 显示全部楼层
倪举鹏 发表于 2021-11-18 15:56
微扰法得到的上面结论,还有没有更简单方法

微扰法是什么意思?难道还有比拉格朗日乘子法更简单的办法吗?????????

点评

在极值附近微扰,正三角形大小不变,可以立即知道需要满足的几何关系,不用做极值计算  发表于 2021-11-18 16:06
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发表于 2021-11-18 16:20:54 | 显示全部楼层
倪举鹏 发表于 2021-11-18 11:55
需要满足cos(a)*cos(b)*cos(c)=cos(pi*2/3-a)*cos(pi*2/3-b)*cos(pi*2/3-c)

你就一个方程,能解出来三个未知数吗?????????????
要不你解给我看看
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 楼主| 发表于 2021-11-18 16:33:44 | 显示全部楼层
p := 3-x*sin(alpha);
                        3 - x sin(alpha)
q := 4-x*cos(alpha);
                        4 - x cos(alpha)
solve({(m^2+p^2-x^2)/(2*m*p) = .6, (n^2+q^2-x^2)/(2*n*q) = .8, cos(alpha)*(n^2-q^2+x^2)*(-m^2+p^2+x^2)*(2*x*q)*(2*x*m)/((2*x*n)*(2*x*p)*sin(alpha)*(-n^2+q^2+x^2)*(m^2-p^2+x^2)) = 1, m+n = 5}, {alpha, m, n, x});
{alpha = 0.2955834917, m = -1.651454247, n = 6.651454247,

   x = -5.844701686}, {alpha = 0.7471383866, m = 2.117775490,

   n = 2.882224510, x = 1.773460369}, {alpha = -2.846009162,

   m = -1.651454247, n = 6.651454247, x = 5.844701686}, {

   alpha = -2.394454267, m = 2.117775490, n = 2.882224510,

   x = -1.773460369}
是正三角形的时候,如果确定a,那么b,c也确定了,所以再满足上面等式就可以了。上面没有放出abc的关系等式
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