求证等腰

dlsh

如下图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ平行于ＣＤ，ＡＣ交ＢＤ于Ｅ点，满足条件：ＡＢ＝ＡＣ，ＢＥ＝ＢＣ；角ＣＡＤ＝15度。
求证：三角形ＡＤＢ是等腰直角三角形。（即ＡＤ＝ＢＤ，角ＡＤＢ＝90度）

五次方程除c=0容易排除，如何排除其它三个解
构图顺序：A，B、C，直线DB，作DC平行于AB交EB于D，根据角度关系求出C


参考证明等腰直角三角形

nyy

我给你一个思路：角元塞瓦定理！
梯形有四个角，然后假设∠ACB=x，然后用x表达出剩下的所有的角，
再利用角元塞瓦定理列方程，再解方程！
这样比较简单一些！

nyy

利用角元塞瓦定理列方程如下
\[f=\sin (15 {}^{\circ}) \sin \left(\left(90-\frac{3 x}{2}\right) {}^{\circ}\right) \sin \left(\left(90-\frac{x}{2}\right) {}^{\circ}\right) \sin \left(\left(90-\frac{3 x}{2}\right) {}^{\circ}\right)-\sin (x {}^{\circ}) \sin (x {}^{\circ}) \sin (x {}^{\circ}) \sin \left(\left(75+\frac{x}{2}\right) {}^{\circ}\right)=0\]

画出函数图片，
得到角度结果在30附近，
拿30验证看是否是方程的根，
经过计算机验证，确实是方程的根！
@dlsh 为什么我就没发现方程有多个解呢？？？？？？？？？

全部代码如下：

1. (*求证等腰*)
   
2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-18181-1-1.html*)
   
3. Clear["Global`*"];
   
4. (*利用角元塞瓦定理解决等腰的问题*)
   
5. (*利用角元塞瓦定理列方程，方程等于零，求出x=∠CAB*)
   
6. f=Sin[15*Degree]*Sin[(90-3/2*x)*Degree]*Sin[(90-x/2)*Degree]*Sin[(90-3/2*x)*Degree]-Sin[x*Degree]*Sin[x*Degree]*Sin[x*Degree]*Sin[(75+x/2)*Degree]
   
7. (*绘图，看方程有几个根，由于要求每个内角大于零，容易知道0<x<60*)
   
8. Plot[f,{x,0,60}]
   
9. (*容易看出区间范围内，方程只有一个根x=30，验证这个根*)
   
10. (f/.x->30)//FullSimplify
    

复制代码

nyy

@dlsh 肉眼看函数图像，也能发现方程只有一个解，为什么你会说多解呢？难道是我搞错了？