这样的n位数最多有几个？

王守恩

无心人 发表于 2021-12-22 09:02
这个问题在那个数学中国我回了，用连分数

\(\sqrt{433\ }\)  是\([20, 1, 4, 4,\dots]\)

求介于 \(\sqrt{n\ }\) 与 \(\sqrt{n+1\ }\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=a(n)。
先从简单算起。
a(0)=2
a(1)=3
a(2)=2
a(3)=4
a(4)=5
a(5)=3
a(6)=2
a(7)=3
a(8)=6
a(9)=7
......
得到这样一串数:
{2, 3, 2, 4, 5, 3, 2, 3, 6, 7, 4, 3, 2, 3, 4, 8, 9, 5, 3, 5, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 6, 4,
  3, 5, 2, 5, 3, 4, 6, 12, 13, 7, 5, 4, 3, 7, 2, 5, 3, 4, 5, 7, 14, 15, 8, 5, 4, 3, 5,
  7, 2, 5, 3, 7, 4, 6, 8, 16, 17, 9, 6, 5, 4, 3, 5, 7, 2, 5, 8, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 19,}
通项公式是这样：
Table[k=2; While[Count[Range[n*k^2+1, (n+1)k^2-1], j_ /; IntegerQ@Sqrt[j]]==0, k++]; k, {n,0,81}]

特别地，介于 \(\sqrt{433}\) 与 \(\sqrt{434 }\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=11。
k=2; While[Count[Range[433k^2+1, 434k^2-1], j_ /; IntegerQ@Sqrt[j]]==0, k++]; k

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-23 09:04
求介于 \(\sqrt{n\ }\) 与 \(\sqrt{n+1\ }\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=a(n)。
先从简单算起 ...

求证:介于 \(\sqrt[n]{\lfloor\frac{8^n}{7^n}\rfloor+1\ }\) 与 \(\sqrt[n]{\lfloor\frac{8^n}{7^n}\rfloor\ }\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=7，n=8,9,10,11,12,....

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-23 12:43
求证:介于 \(\sqrt[n]{\lfloor\frac{8^n}{7^n}\rfloor+1\ }\) 与 \(\sqrt[n]{\lfloor\frac{8^n}{7^n}\rfl ...

还是有一些规律的。

求介于 \(\sqrt{n^2}\) 与 \(\sqrt{n^2+1}\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=a(n^2)。

先从简单算起。
a(1^2)=3
a(2^2)=5
a(3^2)=7
a(4^2)=5
a(5^2)=9
a(6^2)=11
a(7^2)=13
a(8^2)=15
a(9^2)=17
......

一般地，求介于 \( \sqrt[k]{n^k}\) 与 \(\sqrt[k]{n^k+1}\)  之间的分数 \( \frac{q}{p},\ p\) 最小\(=a(n^k)=k*n^{k-1}+1\ \ \ \ n>n+a/2\)

无心人

是不是可以考虑\(\sqrt{\frac{b^2}{a^2}}\le x \le \sqrt{\frac{(b+1)^2}{a^2}}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-24 09:48
还是有一些规律的。

求介于 \(\sqrt{n^2}\) 与 \(\sqrt{n^2+1}\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\)  ...

求介于 \(1\) 与 \(\sqrt[n]{2}\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=a(n)。

a(2)=3
a(3)=4
a(4)=6
a(5)=7
a(6)=9
a(7)=10
a(8)=12
a(9)=13
......
a(n)=3,4,6,7,9,10,12,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,27,29,30,32,33,35,36,...

特别地，把遗漏的数拉出来，有什么规律？好像在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到。
5,8,11,15,18,21,24,28,31,34,37,41,44,47,51,54,57,60,64,67,70,73,77,80,83,86,90,93,96,99,...

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-24 10:23
求介于 \(1\) 与 \(\sqrt[n]{2}\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=a(n)。

a(2)=3

求介于 \(\sqrt[n]{2^n+0}\) 与 \(\sqrt[n]{2^n+1}\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=a(n)。

a(2)=5
a(3)=13
a(4)=33
a(5)=81
a(6)=194
a(7)=450
a(8)=1026
a(9)=2306
......
a(n)=5,13,33,81,194,450,1026,2306,5123,11267,24579,53251,114692,245764,524292,...

有什么规律？好像在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到。

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-24 11:39
求介于 \(\sqrt[n]{2^n+0}\) 与 \(\sqrt[n]{2^n+1}\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=a(n)。

a( ...

求介于 \(\sqrt{n}\) 与 \(\sqrt{n+1}\) 之间的分数 \(\frac{q}{p}\),  满足最小的 \(p=5\) 时，\(n\) 是这样一串数：

1, 4, 10, 17, 27, 38, 51, 67, 84, 104, 125, 148, 174, 201, 231, 262, 295, 331, 368, 408, 449, 492, 538, 585, 635, 686, 739, 795, 852,  912,

其中 1, 10, 27 不符合题意，需剔除。有什么规律？好像在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到。