这样的n位数最多有几个？

王守恩

谢谢 sheng_jianguo 给出灵感！重新编辑。有这样一串数(与n场比赛胜m场，求最多连胜z场的所有情况很有关系)：
每串数从数码1开始，慢慢变大(后面的数码不能比前面的数码小)，后面相同的数码不能比前面相同的数码多，这样的n位数最多有几个？
a(n)=1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, ....非常谢谢 sheng_jianguo 给出灵感！

1位数--1
1:1

2位数--2
1:11
2:12

3位数--3
1:111
2:112
3:123

4位数---5
1:1111
2:1112
3:1122
4:1123
5:1234

5位数-----7
1:11111
2:11112
3:11122
4:11123
5:11223
6:11234
7:12345

6位数-------11
01:111111
02:111112
03:111122
04:111123
05:111222
06:111223
07:111234
08:112233
09:112234
10:112345
11:123456

7位数---------15
01:1111111
02:1111112
03:1111122
04:1111123
05:1111222
06:1111223
07:1111234
08:1112223
09:1112233
10:1112234
11:1112345
12:1122334
13:1122345
14:1123456
15:1234567

8位数-----------22
01:11111111
02:11111112
03:11111122
04:11111123
05:11111222
06:11111223
07:11111234
08:11112222
09:11112223
10:11112233
11:11112234
12:11112345
13:11122233
14:11122234
15:11122334
16:11122345
17:11123456
18:11223344
19:11223345
20:11223456
21:11234567
22:12345678

northwolves

题目似乎等价于n的拆分：
8位数-----------22               
1        11111111        8
2        11111112        71
3        11111122        62
4        11111123        611
5        11111222        53
6        11111223        521
7        11111234        5111
8        11112222        44
9        11112223        431
10        11112233        422
11        11112234        4211
12        11112345        41111
13        11122233        332
14        11122234        3311
15        11122334        3221
16        11122345        32111
17        11123456        311111
18        11223344        2222
19        11223345        22211
20        11223456        221111
21        11234567        2111111
22        12345678        11111111

王守恩

northwolves 发表于 2021-12-16 11:09
题目似乎等价于n的拆分：
8位数-----------22               
1        11111111        8

谢谢 northwolves ! 题目似乎等价于n的拆分：
1位数--1
1:1-1

2位数--2
1:11-11
2:12-2

3位数--3
1:111-111
2:112-12
3:123-3

4位数---5
1:1111-1111
2:1112-112
3:1122-22
4:1123-13
5:1234-4

5位数-----7
1:11111-11111
2:11112-1112
3:11122-122
4:11123-113
5:11223-23
6:11234-14
7:12345-5

6位数-------11
01:111111-111111
02:111112-11112
03:111122-1122
04:111123-1113
05:111222-222
06:111223-123
07:111234-114
08:112233-33
09:112234-24
10:112345-15
11:123456-6

7位数---------15
01:1111111-1111111
02:1111112-111112
03:1111122-11122
04:1111123-11113
05:1111222-1222
06:1111223-1123
07:1111234-1114
08:1112223-223
09:1112233-133
10:1112234-124
11:1112345-115
12:1122334-44
13:1122345-35
14:1123456-26
15:1234567-7

8位数-----------22
01:11111111-11111111
02:11111112-1111112
03:11111122-111122
04:11111123-111113
05:11111222-11222
06:11111223-11123
07:11111234-11114
08:11112222-2222
09:11112223-1223
10:11112233-1133
11:11112234-1124
12:11112345-1115
13:11122233-233
14:11122234-224
15:11122334-134
16:11122345-125
17:11123456-116
18:11223344-44
19:11223345-35
20:11223456-26
21:11234567-17
22:12345678-8

王守恩

无心人 发表于 2021-12-22 09:02
这个问题在那个数学中国我回了，用连分数

\(\sqrt{433\ }\)  是\([20, 1, 4, 4,\dots]\)

求介于 \(\sqrt{n\ }\) 与 \(\sqrt{n+1\ }\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=a(n)。
先从简单算起。
a(0)=2
a(1)=3
a(2)=2
a(3)=4
a(4)=5
a(5)=3
a(6)=2
a(7)=3
a(8)=6
a(9)=7
......
得到这样一串数:
{2, 3, 2, 4, 5, 3, 2, 3, 6, 7, 4, 3, 2, 3, 4, 8, 9, 5, 3, 5, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 6, 4,
  3, 5, 2, 5, 3, 4, 6, 12, 13, 7, 5, 4, 3, 7, 2, 5, 3, 4, 5, 7, 14, 15, 8, 5, 4, 3, 5,
  7, 2, 5, 3, 7, 4, 6, 8, 16, 17, 9, 6, 5, 4, 3, 5, 7, 2, 5, 8, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 19,}
通项公式是这样：
Table[k=2; While[Count[Range[n*k^2+1, (n+1)k^2-1], j_ /; IntegerQ@Sqrt[j]]==0, k++]; k, {n,0,81}]

特别地，介于 \(\sqrt{433}\) 与 \(\sqrt{434 }\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=11。
k=2; While[Count[Range[433k^2+1, 434k^2-1], j_ /; IntegerQ@Sqrt[j]]==0, k++]; k

mathe

k的数目为$x_k$,也就是$$\sum_{h} x_h=n, x_1\ge x_2\ge x_3\ge...$$,所以就是n的拆分数目

王守恩

mathe 发表于 2021-12-16 11:32
k的数目为$x_k$,也就是$\sum_{h} x_h=n, x_1\ge x_2\ge x_3\...$,所以就是n的拆分数目

谢谢 sheng_jianguo！谢谢 northwolves！谢谢 mathe！
n 的拆分数目是这样一串数：
1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, ...
如果我们在此基础上增加“不允许有1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89,....”位数，得到这样一串数：
{0, 0, 0, 1, 1, 3, 5, 8, 12, 19, 27, 40, 54, 76, 102, 139, 183, 244, 317, 414, ....
问题：通项公式应该怎样写？

northwolves

王守恩 发表于 2021-12-16 13:03
谢谢 sheng_jianguo！谢谢 northwolves！谢谢 mathe！
n 的拆分数目是这样一串数：
1, 2, 3, 5, 7, 11 ...

咋得到的？

northwolves

第2串数：一个一个一个算出来的？咋算的？举个例子

王守恩

northwolves 发表于 2021-12-16 18:07
第2串数：一个一个一个算出来的？咋算的？举个例子

1-1=0
2-1-1=0,
3-1-1-1=0,
5-1-2-1=1,
7-1-2-2-1=1,
11-1-3-3-1=3，
15-1-3-4-2=5,
22-1-4-5-3-1=8,
30-1-4-7-5-1=12,
42-1-5-8-7-2=19,
56-1-5-10-10-3=27,
77-1-6-12-13-5=40,

王守恩

northwolves 发表于 2021-12-16 18:07
第2串数：一个一个一个算出来的？咋算的？举个例子

太难了，先丢一丢。

求介于 \(\sqrt{433\ }\) 与 \(\sqrt{434\ }\) 之间的最简分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小是多少？可以有通项公式吗？

求介于 \(\sqrt{n-1\ }\) 与 \(\sqrt{n\ }\) 之间的最简分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小是多少？可以有通项公式吗？

求介于 \(\sqrt[a]{n-1\ }\) 与 \(\sqrt[a]{n\ }\) 之间的最简分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小是多少？可以有通项公式吗？

无心人

王守恩 发表于 2021-12-22 08:11
太难了，先丢一丢。

求介于 \(\sqrt{433\ }\) 与 \(\sqrt{434\ }\) 之间的最简分数 \(\frac{q}{p},\ p ...

这个问题在那个数学中国我回了，用连分数

\(\sqrt{433\ }\)  是\([20, 1, 4, 4,\dots]\)
\(\sqrt{434\ }\)  是\([20, 1, 4, 1,\dots]\)
最小分母是\([20, 1, 4, 2]\)