猫和老鼠追击问题

倪举鹏 · 发表于 2022-1-4 16:17:20

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本帖最后由倪举鹏于 2022-1-4 16:42 编辑

老鼠在半径是1的圆水池中心，水池边缘都是老鼠洞，老鼠只要到边缘猫没到就算逃脱，猫在圆边缘不下水，老鼠速度1，猫速度k,求k最大值最小是多少，老鼠才一定不能逃脱，求临界值时候老鼠最快的逃脱时间

倪举鹏 · 发表于 2022-1-4 17:24:49

不能发图片，觉得最后是一段圆弧与切线段

markfang2050 · 发表于 2022-1-4 18:38:45

这不是油管上上早就有的题目吗？

倪举鹏 · 发表于 2022-1-5 14:25:30

最后转化成的问题是：k^2+(sin(a))^2-2*k*cos(s)*sin(a)=(pi+s)^2, sin(s)=tan(a)*(cos(s)-sin(a)/k) 两个方程三个自变量，求k最大值，谁软件画k与a的图像试试

markfang2050 · 发表于 2022-1-5 17:53:03

markfang2050 · 发表于 2022-1-5 18:18:34

临界值K=4.6033

markfang2050 · 发表于 2022-1-5 18:19:53

解决用到了泛函和变分的原理，有些类似于求最速降曲线。

倪举鹏 · 发表于 2022-1-6 11:02:27

markfang2050 发表于 2022-1-5 18:19
解决用到了泛函和变分的原理，有些类似于求最速降曲线。

这方法复杂了，我的方法是一开始猫鼠圆心一定在一条线上，不然的话要么老鼠吃亏损失距离，要么猫会调头还是老鼠损失距离。这个条件用个微分方程就可以得出是个圆弧，然后就是切线方向跑出去落在圆上什么点的固定函数极值问题了。上面函数极值应该与知乎结果一样

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