代数证明一定严密吗

dlsh

吴文俊先生说欧式几何不可能严谨！
http://www.360doc.com/content/17/0508/11/37288455_652070394.shtml
关于几何图形退化，吴文俊有一段精彩说明：

在Euclid几何中，公理与定理的叙述往往隐含了一种没有明白说出的假设一所考虑的图形必须处在某种正常的、一般性的、而非异常的、带有特殊性的退化情况。例如，在说到两直线平行时，就隐含着它们是不同的两条直线而不是退化为两条重合的直线。同样在说到两条直线相交时，也隐含着它们并没有退化为两条平行的或重合的直线。又如在说到三角形时，总是隐含了这是一个正常的真正三角形，它的三个顶点互不相同且不退化为顶点在同一直线上的一个“扁”三角形，如此等等。虽然我们可在定义或定理的叙述中加上种种非退化的限制，但那样叙述显得极为冗沓。究竟给出什么样的非退化的限制才算合适并不清楚。退化一词也没有确切的定义，所以等腰三角形或直角三角形算不算是一个退化的三角形，就很难确定了。尤其严重的是，定理的证明往往只适用于某种正常的、一般的、而非异常的或退化的情形。对于退化的情形，往往对证明作必要的修改才能适用。或者需要改变全部证明。有时对于退化情形定理本身甚至完全失去意义以至根本不成立。

他好象说过：代数方法可以严密证明？
以下命题的两种代数证明方法严密吗？
命题：圆的弦中点与圆心的连线垂直于这条弦。
解析几何方法：
证明1：坐标法
不妨设圆的方程为`x^2+y^2=1`, 弦的两端点为`Z_1(x_1,y_1)`和`Z_2(x_2,y_2)`,
那么弦的斜率即是`\D k_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}`,弦的中点为`\D Z_m=(\frac{x_1+x_2}2,\frac{y_1+y_2}2)`.
所以圆心与弦中点连线的斜率为`\D k_2=\frac{y_2+y_1}{x_2+x_1}`,
所以  `\D k_1\cdot k_2=\frac{y_2^2-y_1^2}{x_2^2-x_1^2}=\frac{(1-x_2^2)-(1-x_1^2)}{x_2^2-x_1^2}=-1`,
所以`OZ_m⊥Z_1Z_2`.
证明2：用复斜率法。
不妨设圆的方程为`Z\bar Z=1`, 弦的两端点为`Z_1`和`Z_2`, 弦的中点为`Z_m=\frac{Z_1+Z_2}2`
则弦的复斜率`k_1=\frac{Z_1-Z_2}{\bar Z_1-\bar Z_2}=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1^{-1}-Z_2^{-1}}=-Z_1Z_2`,
圆心与弦中点连线的复斜率为`\D k_2=\frac{Z_1+Z_2}{\bar Z_1+\bar Z_2}=\frac{Z_1+Z_2}{Z_1^{-1}+Z_2^{-1}}=Z_1Z_2`,
所以`OZ_m⊥Z_1Z_2`.

kastin

几何图形比较直观，能比较直观地发现代数不能一眼就看出的规律(实际上是利用了人的视觉化和运动化的思维与推理，代数方法无法享受这个优势)，但它也有致命缺点，即吴文俊提到的隐含假设的问题，对特殊的退化或异常情况考虑不周。尤其是高维情况，或较为复杂的关系，人很难想象得出那些退化的情况(例如有时很难穷举完全)。这一方面，代数能包含所有情况，包括退化情况——但前提是在代数运算过程中不能想当然，必须逻辑推导严密。

比如，在代数推理证明中要注意分母不能为零(包括约掉某些项时，这些项要保证任何情况下都不能为零)，开方注意正负号，求根或开高次根式注意复数解，变形时注意增根、重根，注意可交换性、可逆性(与分母不能为零本质类似)，以及在等价变换过程中，中间某个关键步骤不满足假设或前提条件（而其他步骤都符合）的情况等等。由此可见，几何里面的所谓异常和退化情形并没有消失，只不过是以代数的方式存在而已。