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[讨论] 代数证明一定严密吗

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发表于 2022-1-9 22:42:11 | 显示全部楼层 |阅读模式

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吴文俊先生说欧式几何不可能严谨!
http://www.360doc.com/content/17/0508/11/37288455_652070394.shtml
关于几何图形退化,吴文俊有一段精彩说明:

在Euclid几何中,公理与定理的叙述往往隐含了一种没有明白说出的假设一所考虑的图形必须处在某种正常的、一般性的、而非异常的、带有特殊性的退化情况。例如,在说到两直线平行时,就隐含着它们是不同的两条直线而不是退化为两条重合的直线。同样在说到两条直线相交时,也隐含着它们并没有退化为两条平行的或重合的直线。又如在说到三角形时,总是隐含了这是一个正常的真正三角形,它的三个顶点互不相同且不退化为顶点在同一直线上的一个“扁”三角形,如此等等。虽然我们可在定义或定理的叙述中加上种种非退化的限制,但那样叙述显得极为冗沓。究竟给出什么样的非退化的限制才算合适并不清楚。退化一词也没有确切的定义,所以等腰三角形或直角三角形算不算是一个退化的三角形,就很难确定了。尤其严重的是,定理的证明往往只适用于某种正常的、一般的、而非异常的或退化的情形。对于退化的情形,往往对证明作必要的修改才能适用。或者需要改变全部证明。有时对于退化情形定理本身甚至完全失去意义以至根本不成立。

他好象说过:代数方法可以严密证明?
以下命题的两种代数证明方法严密吗?
命题:圆的弦中点与圆心的连线垂直于这条弦。
解析几何方法:
证明1:坐标法
不妨设圆的方程为`x^2+y^2=1`, 弦的两端点为`Z_1(x_1,y_1)`和`Z_2(x_2,y_2)`,
那么弦的斜率即是`\D k_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}`,弦的中点为`\D Z_m=(\frac{x_1+x_2}2,\frac{y_1+y_2}2)`.
所以圆心与弦中点连线的斜率为`\D k_2=\frac{y_2+y_1}{x_2+x_1}`,
所以  `\D k_1\cdot k_2=\frac{y_2^2-y_1^2}{x_2^2-x_1^2}=\frac{(1-x_2^2)-(1-x_1^2)}{x_2^2-x_1^2}=-1`,
所以`OZ_m⊥Z_1Z_2`.
证明2:用复斜率法。
不妨设圆的方程为`Z\bar Z=1`, 弦的两端点为`Z_1`和`Z_2`, 弦的中点为`Z_m=\frac{Z_1+Z_2}2`
则弦的复斜率`k_1=\frac{Z_1-Z_2}{\bar Z_1-\bar Z_2}=\frac{Z_1-Z_2}{Z_1^{-1}-Z_2^{-1}}=-Z_1Z_2`,
圆心与弦中点连线的复斜率为`\D k_2=\frac{Z_1+Z_2}{\bar Z_1+\bar Z_2}=\frac{Z_1+Z_2}{Z_1^{-1}+Z_2^{-1}}=Z_1Z_2`,
所以`OZ_m⊥Z_1Z_2`.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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