复数直线方程的几何意义

dlsh

过圆心在原点单位圆上的两点A和B的方程可以表示为：\(z+ab\bar{z}=a+b\),其中a和b是A、B两点对应的复数，这方程的几何意义是什么？

hujunhua

`a+b`是原点关于直线AB的镜像点，`O,a,b,a+b`构成一个菱形。
`z`在直线AB上，所以直线AB的方程`z+ab\bar z=a+b`表明`O,z,ab\bar z,a+b`亦构成一个菱形。

这一点容易证明。首先，`ab\bar z`是旋转协变的，所以可以任选坐标轴的方向，那么不妨选作`a=\bar b`,则`ab\bar z=\bar z`，镜像对称关系显然。

TSC999

要照这么说几何意义的话，那么复平面上通过 A、B 两点的直线方程如下，前一个表达式右边表示该直线的复数斜率：



它的几何意义中也有一个菱形。菱形的长对角线即是通过 A、B 两点的直线方程：

hujunhua

就是说，你那个直线方程在旋转变换下具有不变的形式。

假如旋转变换是乘以一个单位复数`λ`,即
`z'=λz, a'=λa,b'=λb,\bar{z'}=\bar λ\bar z`,
由原方程两边乘以`λ`得
`λz+(λa)(λb)(\bar λ\bar z)=λa+λb,(\text{note}:λ\bar λ=1) `
即 `z'+a'b'\bar{z'}=a'+b'`
可见原直线方程在以原点为中心的旋转变换下形式不变，即是“旋转协变的”。
既然在旋转变换下具有不变形式，如果我们在某一特定旋转角度下证明直线方程成立，那么在任意别的角度下也是成立的。
所以我们选择一个特殊的方便计算的角度：使`a,b`共轭的角度，这时`ab=1`，方程简化为
`z+\bar z=a+b=a+\bar a`
这显然成立。

TSC999

对于 3# 楼图中的红线是菱形的证明如下：

dlsh

几何意义

谢谢两位参与讨论。图中用F代替Z，M是AB中点：有f+abf'=2m,即f+f''=2m,f''=-(-ab)f'=-kABf'，与你们的讨论结果等价

dlsh

hujunhua 发表于 2022-3-11 08:27
就是说，你那个直线方程在旋转变换下具有不变的形式。

假如旋转变换是乘以一个单位复数`λ`,即

\(\bar{a}b如何画出来\)

dlsh

TSC999 发表于 2022-3-11 11:19
对于 3# 楼图中的红线是菱形的证明如下：

直线方程可以写成多种形式，其中一种：\(（\bar{a}-\bar{b})z-(a-b)\bar{z}=\bar{a}b-a\bar{b}\),在几何画板中用向量乘法功能获得矩形。