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[原创] 复数直线方程的几何意义

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发表于 2022-3-8 21:01:34 | 显示全部楼层 |阅读模式

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过圆心在原点单位圆上的两点A和B的方程可以表示为:\(z+ab\bar{z}=a+b\),其中a和b是A、B两点对应的复数,这方程的几何意义是什么?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-3-10 15:18:34 | 显示全部楼层
`a+b`是原点关于直线AB的镜像点,`O,a,b,a+b`构成一个菱形。
`z`在直线AB上,所以直线AB的方程`z+ab\bar z=a+b`表明`O,z,ab\bar z,a+b`亦构成一个菱形。
捕获.PNG
这一点容易证明。首先,`ab\bar z`是旋转协变的,所以可以任选坐标轴的方向,那么不妨选作`a=\bar b`,则`ab\bar z=\bar z`,镜像对称关系显然。

点评

旋转协变是什么  发表于 2022-3-10 19:36
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-3-10 22:36:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-3-10 22:48 编辑

要照这么说几何意义的话,那么复平面上通过 A、B 两点的直线方程如下,前一个表达式右边表示该直线的复数斜率:

解说.png

它的几何意义中也有一个菱形。菱形的长对角线即是通过 A、B 两点的直线方程:

复平面上一般直线方程的几何意义.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-3-11 08:27:52 | 显示全部楼层

旋转协变是什么?

就是说,你那个直线方程在旋转变换下具有不变的形式。

假如旋转变换是乘以一个单位复数`λ`,即
`z'=λz, a'=λa,b'=λb,\bar{z'}=\bar λ\bar z`,
由原方程两边乘以`λ`得
`λz+(λa)(λb)(\bar λ\bar z)=λa+λb,(\text{note}:λ\bar λ=1) `
即 `z'+a'b'\bar{z'}=a'+b'`
可见原直线方程在以原点为中心的旋转变换下形式不变,即是“旋转协变的”。
既然在旋转变换下具有不变形式,如果我们在某一特定旋转角度下证明直线方程成立,那么在任意别的角度下也是成立的。
所以我们选择一个特殊的方便计算的角度:使`a,b`共轭的角度,这时`ab=1`,方程简化为
`z+\bar z=a+b=a+\bar a`
这显然成立。

点评

就是说证明特例就行了  发表于 2022-3-11 20:04
谢谢老师  发表于 2022-3-11 19:36
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发表于 2022-3-11 11:19:19 | 显示全部楼层
对于 3# 楼图中的红线是菱形的证明如下:
证明是菱形.png

点评

这正是目前复数证明方法欠缺的内容  发表于 2022-4-11 21:18
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 楼主| 发表于 2022-3-11 20:54:32 | 显示全部楼层

几何意义

几何意义

谢谢两位参与讨论。图中用F代替Z,M是AB中点:有f+abf'=2m,即f+f''=2m,f''=-(-ab)f'=-kABf',与你们的讨论结果等价
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 楼主| 发表于 2022-5-1 22:16:53 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2022-3-11 08:27
就是说,你那个直线方程在旋转变换下具有不变的形式。

假如旋转变换是乘以一个单位复数`λ`,即

\(\bar{a}b如何画出来\)
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