混亂時鐘有多少種可能開局？

ejsoon

1到12個數字打亂，不能有一個數字處於正位，有多少種情況？

mathe

这个叫错位排序，就是1～n这个n个数字，排在1～n这n个位置，要求每个数和所排位置编号不同，有多少种排序方案。
通过容斥原理可以得出结果为\[\sum_{k=0}^n(-1)^k C_n^k (n-k)!=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!} = [\frac{n!}e]\]
其中[x]代表x四舍五入的结果。将n=12代入，可以得出结果为176214841

ejsoon

$$\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!} = \frac 1 e$$


n為無窮大。

有沒有人願意講解一下這個推導過程？

ejsoon

我已經明白了，是泰勒展開。