高阶导数具有周期性的函数

KeyTo9_Fans

我想搜集高阶导数等于它自己的函数，目前只收集到了2个：

一阶导数等于它自己：e的x次方

四阶导数等于它自己：sin(x)或cos(x)

还有没有别的函数，经过若干阶求导之后，可以变回原样的呢？

mathe

设$\omega_n$是n次单位根，那么$\sum_{k=0}^{n-1} a_k exp(\omega_n^k x)$ 的n次导函数是它自己，这里$a_k$可以是任意选择的复数。

wayne

其实就是解微分方程 $y^{(n)}(x)=y(x)$,如此一来，特征方程就是$t^n-1=0$，答案就是楼上的mathe所言， 特例如下：
n=2：$c_1 e^x+c_2 e^{-x}$
n=3：$c_1 e^x+e^{-\frac{x}{2}} \left(c_2 \cos \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)+c_3 \sin \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)\right)$
n=4：$c_1 e^x+c_3 e^{-x}+c_2 \cos (x)+c_4 \sin (x)$
n=5：$e^{-\frac{1}{4} \left(\sqrt{5}+1\right) x} \left(c_1 e^{\frac{1}{4} \left(\sqrt{5}+5\right) x}+c_3 \cos \left(\sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}} x\right)+c_4 \sin \left(\sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}} x\right)+e^{\frac{\sqrt{5} x}{2}} \left(c_2 \cos \left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8}+\frac{5}{8}} x\right)+c_5 \sin \left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8}+\frac{5}{8}} x\right)\right)\right)$