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[讨论] 高阶导数具有周期性的函数

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发表于 2022-5-4 12:01:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

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我想搜集高阶导数等于它自己的函数,目前只收集到了2个:

一阶导数等于它自己:e的x次方

四阶导数等于它自己:sin(x)或cos(x)

还有没有别的函数,经过若干阶求导之后,可以变回原样的呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-5-4 12:33:41 | 显示全部楼层
设$\omega_n$是n次单位根,那么$\sum_{k=0}^{n-1} a_k exp(\omega_n^k x)$ 的n次导函数是它自己,这里$a_k$可以是任意选择的复数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-5-4 13:01:03 | 显示全部楼层
其实就是解微分方程 $y^{(n)}(x)=y(x)$,如此一来,特征方程就是$t^n-1=0$,答案就是楼上的mathe所言, 特例如下:
n=2:$c_1 e^x+c_2 e^{-x}$
n=3:$c_1 e^x+e^{-\frac{x}{2}} \left(c_2 \cos \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)+c_3 \sin \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)\right)$
n=4:$c_1 e^x+c_3 e^{-x}+c_2 \cos (x)+c_4 \sin (x)$
n=5:$e^{-\frac{1}{4} \left(\sqrt{5}+1\right) x} \left(c_1 e^{\frac{1}{4} \left(\sqrt{5}+5\right) x}+c_3 \cos \left(\sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}} x\right)+c_4 \sin \left(\sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}} x\right)+e^{\frac{\sqrt{5} x}{2}} \left(c_2 \cos \left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8}+\frac{5}{8}} x\right)+c_5 \sin \left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8}+\frac{5}{8}} x\right)\right)\right)$

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