求x^2+1=y^2+z^2互异的正整数解，且满足

majer

找出一组满足方程\(x^2+1=y^2+z^2  \)互异的正整数解，同时满足\(z^2\)相当于\(x^2+1\)去掉首位数字后的结果。

讨论一下

先去掉非法的情况。比如说令\(x=y= 10, z=1\)的话，看似是一组解，但\(x^2+1=101\)。去掉最高位数字1，得到一个不合标准的两位数01。按照整数书写习惯，不应以0开头。所以不应把这种形式的算做解。

\(x^2+1=y^2+z^2 \)移项，\((x+z)(x-z)=y^2-1  \)。

按照要求\(y\)仅能是形如\(100……0\)或\(20……0\)或\(300……0\)的数字，同时\(z＜y, z\ne1\)。

编程算了一下，这个有限制条件的方程，貌似在\(y\)的前几个可能取值里都是无解的。

问题出在诸如\(9999\)、\(39999\)、\(89999\)这样的整数，分解成两个因子的积后，两个因子差距很大，进而导致\(z\)总是比\(y\)大……

但我无法证明这对任意上述形状的\(y\)始终成立。也就是说，不知道是不是原方程真的无解。

大家有没有什么想法。

majer

程序写错了个地方。找到了(1068,1000,375)(13320,10000,8799)满足。大家当无事发生好了

northwolves

1 [1380, 1000, 951]
2 [1280, 1000, 799]
3 [1068, 1000, 375]
4 [1032, 1000, 255]
5 [1020, 1000, 201]
6 [13320, 10000, 8799]
7 [10532, 10000, 3305]
8 [10468, 10000, 3095]
9 [102020, 100000, 20201]
10 [310860, 300000, 81449]
11 [1362180, 1000000, 924951]
12 [1202840, 1000000, 668449]
13 [1113468, 1000000, 489705]
14 [1061068, 1000000, 354775]
15 [1037032, 1000000, 274655]
16 [1010832, 1000000, 147585]
17 [1005440, 1000000, 104449]
18 [1004460, 1000000, 94551]
19 [1000200, 1000000, 20001]
20 [10202020, 10000000, 2020201]
21 [122816400, 100000000, 71301249]
22 [120915032, 100000000, 67973855]
23 [109625668, 100000000, 44919785]
24 [1380952380, 1000000000, 952380951]
25 [1379050380, 1000000000, 949620951]
26 [1337308968, 1000000000, 887916255]
27 [1292397660, 1000000000, 818713449]
28 [1280800280, 1000000000, 800280799]
29 [1279202280, 1000000000, 797720799]
30 [1268342620, 1000000000, 780187799]
31 [1230440968, 1000000000, 716927455]
32 [1206991680, 1000000000, 675891201]
33 [1165932832, 1000000000, 599499265]
34 [1155141068, 1000000000, 578230825]
35 [1154260680, 1000000000, 576470049]
36 [1125498932, 1000000000, 516476375]
37 [1110464532, 1000000000, 482836905]
38 [1073653968, 1000000000, 390810495]
39 [1068376068, 1000000000, 376068375]
40 [1067626068, 1000000000, 373932375]
41 [1062378168, 1000000000, 358674465]
42 [1044959940, 1000000000, 303218199]
43 [1032256032, 1000000000, 256032255]
44 [1031746032, 1000000000, 253968255]
45 [1020202020, 1000000000, 202020201]
46 [1019800020, 1000000000, 199980201]
47 [1016392332, 1000000000, 181805865]
48 [1006783340, 1000000000, 116673449]
49 [1004814040, 1000000000, 98240801]
50 [1001282668, 1000000000, 50665385]
51 [1000002000, 1000000000, 2000001]
52 [10703064980, 10000000000, 3815180201]
53 [10194799968, 10000000000, 1983417855]
54 [10154815668, 10000000000, 1766431785]
55 [10148545040, 10000000000, 1730019199]
56 [10093343600, 10000000000, 1369519999]
57 [10008540940, 10000000000, 413390551]
58 [10003103568, 10000000000, 249160575]
59 [10002000200, 10000000000, 200020001]
60 [21207506468, 20000000000, 7053958505]
61 [20346557468, 20000000000, 3739304855]

northwolves

y=2******,
[21207506468, 20000000000, 7053958505]
[20346557468, 20000000000, 3739304855]

y=3*****,
[310860, 300000, 81449]