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[讨论] 求x^2+1=y^2+z^2互异的正整数解,且满足

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发表于 2022-5-8 00:17:41 | 显示全部楼层 |阅读模式

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找出一组满足方程\(x^2+1=y^2+z^2  \)互异的正整数解,同时满足\(z^2\)相当于\(x^2+1\)去掉首位数字后的结果。

讨论一下

先去掉非法的情况。比如说令\(x=y= 10, z=1\)的话,看似是一组解,但\(x^2+1=101\)。去掉最高位数字1,得到一个不合标准的两位数01。按照整数书写习惯,不应以0开头。所以不应把这种形式的算做解。

\(x^2+1=y^2+z^2 \)移项,\((x+z)(x-z)=y^2-1  \)。

按照要求\(y\)仅能是形如\(100……0\)或\(20……0\)或\(300……0\)的数字,同时\(z<y, z\ne1\)。

编程算了一下,这个有限制条件的方程,貌似在\(y\)的前几个可能取值里都是无解的。

问题出在诸如\(9999\)、\(39999\)、\(89999\)这样的整数,分解成两个因子的积后,两个因子差距很大,进而导致\(z\)总是比\(y\)大……

但我无法证明这对任意上述形状的\(y\)始终成立。也就是说,不知道是不是原方程真的无解。

大家有没有什么想法。
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 楼主| 发表于 2022-5-8 09:23:13 | 显示全部楼层
程序写错了个地方。找到了(1068,1000,375)(13320,10000,8799)满足。大家当无事发生好了
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发表于 2022-5-8 22:38:51 | 显示全部楼层
1 [1380, 1000, 951]
2 [1280, 1000, 799]
3 [1068, 1000, 375]
4 [1032, 1000, 255]
5 [1020, 1000, 201]
6 [13320, 10000, 8799]
7 [10532, 10000, 3305]
8 [10468, 10000, 3095]
9 [102020, 100000, 20201]
10 [310860, 300000, 81449]
11 [1362180, 1000000, 924951]
12 [1202840, 1000000, 668449]
13 [1113468, 1000000, 489705]
14 [1061068, 1000000, 354775]
15 [1037032, 1000000, 274655]
16 [1010832, 1000000, 147585]
17 [1005440, 1000000, 104449]
18 [1004460, 1000000, 94551]
19 [1000200, 1000000, 20001]
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22 [120915032, 100000000, 67973855]
23 [109625668, 100000000, 44919785]
24 [1380952380, 1000000000, 952380951]
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发表于 2022-5-8 22:40:29 | 显示全部楼层
y=2******,
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