2022年高考浙江数学卷第 9 题是不是错题？

TSC999

2022 年高考浙江数学卷第 9 题是不是出错了 ? 这是个选择题，有四个选项，

但是选哪个都不满足要求，因此题目是不是出错了？

TSC999

官方给出的答案是选 D。但是如果选 D， 令 a=2， b=2.8， 满足  a≥1、b≤3  的要求吧？

画出 f(x)=a |x - b|+|x-4|-|2x-5|=2 |x - 2.8|+|x-4|-|2x-5|  的图像如上面所示。

从图中可知，在 3.5<x<4.5 这一段， f(x) 都是小于零的，并不满足原题要求的：对任意 x 都有 f(x) ≥0。

但是有些网友却提出了相反的意见，认为原题出的没有错，引发了激烈的争论，见【初中数学讨论】论坛  http://kuing.infinityfreeapp.com ... tid=9221&extra=

wayne

首先分别代入特殊值，令 $x=b,5/2,4$得到三个不等式。解得 $(4-b)a>=3, 1<=b<=3$, 因为a,b是指定的某常数，所以选一个交集不为空的选项， 于是答案只能选D，对于选择题，做到这一步就足够了.充分即可。

如果是问答题，还需要进一步拿着这个条件去展开讨论。才能得到充分且必要的结论。

TSC999

如果照上面 3# 的说法，题目是否应该改成下面这样：

已知 a, b ∈R，若对任意 x ∈R 恒有 a |x - b|+|x - 4|- |2x - 5|≥0，那么满足此要求的必要条件是：

  A. a≤1,  b≥3    B.  a≤1,  b≤3    C. a≥1,  b≥3   D.  a≥1,  b≤3

wayne

如果是充分且必要的话，需要拿着 $ 4a-3\geq ab, 1<=b<=3$ 的条件对 条件表达式进行展开，展开有三个节点，四个区间。 而$5/2$刚好落在$(1,3)$之间，所以还需要对b进行分类讨论。
当$1<=b<5/2$的时候，算得额外的一个条件是 $5a-3\geq 2ab$，此条件是二元约束。
当$5/2<=b=3$的时候，算得额外的一个条件是 $5a-3\leq 2ab$，但此时$5-2b<0$，所以肯定恒成立，是累赘的条件，去掉。

总结一下，充要条件是 \((1\leq b<5/2 \land 4a-3\geq ab \land 5a-3\geq 2ab)  \lor  (5/2 \leq b \leq 3 \land 4a-3\geq ab) \)

mathe

题目没错，给定条件，问能得出什么结论，那么就可以推导出必要条件。题目并没有要求充要条件

TSC999

TSC999

原题目中的“则”改为“则必要条件为”比较好，因为选项题的正确选项几乎都是指“充分条件”。如果是必要条件而题目中又没有说明这一点，那题目的难度就会增加。这时如果考生用具体数值试验，可能所有的选项都不满足。这就等于给题目挖了一个大坑。像本题这样的大坑说难听点，就是出题“不讲武德”，“用暗器伤人”。

      类似这样的高考题目在 2020 年的浙江数学卷也有一题，恰好也是第 9 题，猜测 2020 和 2022 的第 9 题的命题者是同一个老师。

附： 2020 年高考浙江数学卷第 9 题。

      已知 \(a,b ∈R\) 且 \( a b≠0\)，若 \((x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0\) 在 \(x≥0\) 上恒成立，则 (    )

     A. a<0     B. a>0      C. b<0        D.  b>0


这个题的答案是选  C.   b<0， 它不是充分条件，而是必要条件。

TSC999

不知还有哪道高考选择题也是这种不指明是必要条件的？ 有知道的贴上来学习一下。

creasson

用mathematica求解一下

1. Reduce[ForAll[x, x >= 0, (x - a) (x - b) (x - 2 a - b) >= 0] && a b != 0, {a, b}, Reals]

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结果是

1. (a < 0 && b < 0) || (a > 0 && b == -a)

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对于第二个

1. Reduce[ForAll[x, a*Abs[x - b] + Abs[x - 4] - Abs[2 x - 5] >= 0], {a, b}, Reals]

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结果是

1. (a == 1 && b == 1) || (1 < a <= 3 && 1 <= b <= (-3 + 4 a)/a) || (a > 3 && 1 <= b <= 3)

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