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[讨论] 2022年高考浙江数学卷第 9 题是不是错题?

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发表于 2022-6-18 09:02:08 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 TSC999 于 2022-6-18 09:08 编辑


2022 年高考浙江数学卷第 9 题是不是出错了 ? 这是个选择题,有四个选项,

但是选哪个都不满足要求,因此题目是不是出错了?


2022年浙江卷数学高考第 9 题.png

2022年浙江卷数学高考第 9 题 1.png

2022年浙江卷数学高考第 9 题 2.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-6-18 09:26:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-6-18 09:36 编辑

官方给出的答案是选 D。但是如果选 D, 令 a=2, b=2.8, 满足  a≥1、b≤3  的要求吧?

画出 f(x)=a |x - b|+|x-4|-|2x-5|=2 |x - 2.8|+|x-4|-|2x-5|  的图像如上面所示。

从图中可知,在 3.5<x<4.5 这一段, f(x) 都是小于零的,并不满足原题要求的:对任意 x 都有 f(x) ≥0。


但是有些网友却提出了相反的意见,认为原题出的没有错,引发了激烈的争论,见【初中数学讨论】论坛  http://kuing.infinityfreeapp.com ... tid=9221&extra=
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发表于 2022-6-18 09:54:31 | 显示全部楼层
首先分别代入特殊值,令 $x=b,5/2,4$得到三个不等式。解得 $(4-b)a>=3, 1<=b<=3$, 因为a,b是指定的某常数,所以选一个交集不为空的选项, 于是答案只能选D,对于选择题,做到这一步就足够了.充分即可。

如果是问答题,还需要进一步拿着这个条件去展开讨论。才能得到充分且必要的结论。
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 楼主| 发表于 2022-6-18 10:31:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2022-6-18 10:40 编辑

如果照上面 3# 的说法,题目是否应该改成下面这样:

已知 a, b ∈R,若对任意 x ∈R 恒有 a |x - b|+|x - 4|- |2x - 5|≥0,那么满足此要求的必要条件是:

  A. a≤1,  b≥3    B.  a≤1,  b≤3    C. a≥1,  b≥3   D.  a≥1,  b≤3

点评

不能。  发表于 2022-6-18 10:48
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发表于 2022-6-18 10:37:39 | 显示全部楼层
如果是充分且必要的话,需要拿着 $ 4a-3\geq ab, 1<=b<=3$ 的条件对 条件表达式进行展开,展开有三个节点,四个区间。 而$5/2$刚好落在$(1,3)$之间,所以还需要对b进行分类讨论。
当$1<=b<5/2$的时候,算得额外的一个条件是 $5a-3\geq 2ab$,此条件是二元约束。
当$5/2<=b=3$的时候,算得额外的一个条件是 $5a-3\leq 2ab$,但此时$5-2b<0$,所以肯定恒成立,是累赘的条件,去掉。

总结一下,充要条件是 \((1\leq b<5/2 \land 4a-3\geq ab \land 5a-3\geq 2ab)  \lor  (5/2 \leq b \leq 3 \land 4a-3\geq ab) \)

点评

没毛病,因为 $a>=3, 1<=b<=3$ ,则肯定 $a>=1, b<=3$  发表于 2022-6-18 10:46
充分必要条件是什么,不是考生所关心的。现在只问原题出的有没有毛病?是不是无懈可击?  发表于 2022-6-18 10:42
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2022-6-18 13:51:47 来自手机 | 显示全部楼层
题目没错,给定条件,问能得出什么结论,那么就可以推导出必要条件。题目并没有要求充要条件
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 楼主| 发表于 2022-6-19 20:59:04 | 显示全部楼层
2022年浙江卷数学高考第 9 题解答.png
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 楼主| 发表于 2022-6-20 08:32:15 | 显示全部楼层
原题目中的“则”改为“则必要条件为”比较好,因为选项题的正确选项几乎都是指“充分条件”。如果是必要条件而题目中又没有说明这一点,那题目的难度就会增加。这时如果考生用具体数值试验,可能所有的选项都不满足。这就等于给题目挖了一个大坑。像本题这样的大坑说难听点,就是出题“不讲武德”,“用暗器伤人”。

      类似这样的高考题目在 2020 年的浙江数学卷也有一题,恰好也是第 9 题,猜测 2020 和 2022 的第 9 题的命题者是同一个老师。

附: 2020 年高考浙江数学卷第 9 题。

      已知 \(a,b ∈R\) 且 \( a b≠0\),若 \((x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0\) 在 \(x≥0\) 上恒成立,则 (    )

     A. a<0     B. a>0      C. b<0        D.  b>0


这个题的答案是选  C.   b<0, 它不是充分条件,而是必要条件。
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 楼主| 发表于 2022-6-20 08:36:01 | 显示全部楼层
不知还有哪道高考选择题也是这种不指明是必要条件的? 有知道的贴上来学习一下。

点评

这可能和应试教育有关。有学生提到:告诉你a≥1和a≤1中有一个是对的,你不用去考虑会不会2个都是错的,你只要能区分哪个更对或哪个更错就行。 结合这道题,可以不假思索地立即选择a≥1。  发表于 2022-6-20 09:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2022-6-20 11:46:45 | 显示全部楼层
用mathematica求解一下
  1. Reduce[ForAll[x, x >= 0, (x - a) (x - b) (x - 2 a - b) >= 0] && a b != 0, {a, b}, Reals]
复制代码

结果是
  1. (a < 0 && b < 0) || (a > 0 && b == -a)
复制代码


对于第二个
  1. Reduce[ForAll[x, a*Abs[x - b] + Abs[x - 4] - Abs[2 x - 5] >= 0], {a, b}, Reals]
复制代码

结果是
  1. (a == 1 && b == 1) || (1 < a <= 3 && 1 <= b <= (-3 + 4 a)/a) || (a > 3 && 1 <= b <= 3)
复制代码
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