这个通项公式该怎么证明?

灵树

昨天随便写了一个通项公式：\(x_n=\dfrac{1}{x_{n-1}}+\dfrac{1}{x_{n-2}}\)
结果趋近于\(\sqrt{2}\)
有兴趣的可以看看我放到知乎上的这个视频：素数开方的通项公式 - 灵树的视频 - 知乎
这个通项公式有没有证明？如果有其它素数的开方是否都能用这种方法计算？

gxqcn

用“不动点”理论，如果收敛，应为 x = 1/x + 1/x 的根。
但利用它来进行高精度开方，可能得不偿失：一次高精度除法计算可能就比开方耗时长。

灵树

我在测试APP时偶尔写了这样一个通项公式，发现用这种方法求素数开方值很不错。在网上查了一遍没找到有人提过这种算法。现在只是初步验证了几个素数，必竟是偶得没有理论基础，没有进行系统论证，不知道有没有广泛性。我还有一种想法，如果能证明这个算法是正确的，那么应该就可以用来说明无理数的无限不循环性质。欢迎大家来讨论这个问题。