二阶非齐次常系数微分方程的解可以合并嘛

travellerxuqi

二阶非齐次微分方程的解 由 齐次解 和 非齐次通解两项组成。
当齐次的特征根为两个虚数时，我观察解的图像时发现：1、齐次解的曲线是个幅值指数衰减的正弦，非齐次解的曲线是个标准正弦，2、解的曲线是个幅值为二阶系统阶跃响应的正弦。
直觉上来说，从图像上判断 解的两项应该可以合并成一项，写成上述2的形式，但是怎么合并呢？

northwolves

$cos\theta=c_2/(\sqrt{c_1^2+c_2^2}),sin\theta=c_1/(\sqrt{c_1^2+c_2^2})$
$c_1cos(\beta t)+c_2sin(\beta t)=\sqrt{c_1^2+c_2^2}sin(\beta t+\theta)=c_3sin(\beta t+\theta)$

travellerxuqi

northwolves 发表于 2022-12-19 19:12
$cos\theta=c_2/(\sqrt{c_1^2+c_2^2}),sin\theta=c_1/(\sqrt{c_1^2+c_2^2})$
$c_1cos(\beta t)+c_2sin(\be ...

这个公式我知道，但是当c1和c2是t的函数也适用嘛？