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[原创] 二阶非齐次常系数微分方程的解可以合并嘛

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发表于 2022-12-18 14:33:47 | 显示全部楼层 |阅读模式

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二阶非齐次微分方程的解 由 齐次解 和 非齐次通解两项组成。
当齐次的特征根为两个虚数时,我观察解的图像时发现:1、齐次解的曲线是个幅值指数衰减的正弦,非齐次解的曲线是个标准正弦,2、解的曲线是个幅值为二阶系统阶跃响应的正弦。
直觉上来说,从图像上判断 解的两项应该可以合并成一项,写成上述2的形式,但是怎么合并呢?
二阶微分解?.jpg
解图像2.jpg

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-12-19 19:12:55 | 显示全部楼层
$cos\theta=c_2/(\sqrt{c_1^2+c_2^2}),sin\theta=c_1/(\sqrt{c_1^2+c_2^2})$
$c_1cos(\beta t)+c_2sin(\beta t)=\sqrt{c_1^2+c_2^2}sin(\beta t+\theta)=c_3sin(\beta t+\theta)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-12-20 16:25:31 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2022-12-19 19:12
$cos\theta=c_2/(\sqrt{c_1^2+c_2^2}),sin\theta=c_1/(\sqrt{c_1^2+c_2^2})$
$c_1cos(\beta t)+c_2sin(\be ...

这个公式我知道,但是当c1和c2是t的函数也适用嘛?
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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