关于高斯混合模型的数学证明

Aros

各位老师好，我是遥感方向的研究生，最近遇到一个本质上是数学统计的难题，限于个人数学水平有限不知道如何去证明。
下面是背景介绍，后面我会转换为纯数学问题。
卫星会定期拍摄影像（这里图1中为每隔12天），将影像分割成很多像元。
这里假设$x_i^j$表表示第$j$个像元的第$i$幅的影像指标A的值。比如$x_10^20=-5$表示第20个像元的第10幅影像的指标A为-5，
水稻的一个生长周期大约是半年，即$i≤20$。

图1

图1中可以清晰的看出，水稻的第1幅影像（这里指5月1日）的指标A大概率是-8，第2幅影像的指标A大概率是-13。
这里的指标A是专业术语，可以直接理解为类似高程的物理含义。

我的任务就是根据$x_i$的时间序列将$x^j$中的水稻区分出来。
物理上，水稻对比其他地物（将所有其他地物归类为非水稻）有2大特征，结合图1不难发现：
1.水稻的$x_i$变化幅度很大，非水稻的$x_i$变化幅度很小，这里的变化幅度可以理解为方差/极差。
2.水稻的$x_i$取最小值必定是在前3幅影像，对应图1中13-May左右，而非植物的$x_i$基本不随时间变化.
这里前3幅影像对应实际情况是插秧阶段，尽管同一区域的水稻种植肯定不是同一天，但是时间差异不会很大。
实际操作时像元个数很多，$x^j$有十万甚至百万，想象一下图1个各类的曲线分别左右、上下平移（平移范围不能太大）。
即所有的$x^j$，水稻和非水稻的散点图还是符合上面的2大特征的。

于是有个学者提出了一个方法，定义一个新的参数，对于每个像元$x^j$定义$z^j$为

$z^j$=$max(\frac{x_m-x_n}{x_m+x_n})$

式中$m＞n$，$n$取1,2,3，$m$取遍所有$i$

结果发现$z^j$呈现高斯混合分布，两个高斯分布（分别对应水稻和非水稻）的交点求出来即是阈值，这样就可以进行分类
具体情况如图2.

图2

我进行了大量实验，发现每次实验结果都是符合高斯混合分布。
转化为数学问题就是：
$a_i^j$表表示第$j$个数列的第$i$个数，其中$i≤20$。
数列$a^j$包含T和S两种，满足：
1.T的$a_i$变化幅度很大，S的$a_i$变化幅度很小，这里的变化幅度可以理解为方差/极差。
2.T的$a_i$取最小值必定是在前3个数，而S的$a_i$最小值随机分布.

定义
$b^j$=$max(\frac{a_m-a_n}{a_m+a_n})$

式中$m＞n$，$n$取1,2,3，$m$取遍所有$i$

则$b^j$呈现高斯混合分布，两个高斯分布（分别对应S和T）的交点求出来即是阈值，这样就可以进行分类。

我想知道为什么？如何证明这样处理必定会得到高斯混合分布。

mathe

\(\frac{a_m-a_n}{a_m+a_n}=1-\frac2{\frac{a_m}{a_n}+1}\)
这是一个关于\(\frac{a_m}{a_n}\)的单调函数，但是在取值为-1处间断。
首先如果\(\frac{a_m}{a_n}\)能够取到小于-1的值，那么就需要取这部分的值，但是看楼主给出的数据例子，应该所有的$a_m\lt 0$,所以永远只能\(\frac{a_m}{a_n}\gt 0\),这时要求这个变量越大越好，也就是\(a_m\)越小越好,\(a_n\)越大越好。由于限制了\(a_n\)只能选择前几个，而对于固定的\(a_n\)，仅考虑选择最小的\(a_m\)即可。
但是认为结果是符合正态分布的是没有理由的

Aros

mathe 发表于 2023-1-5 14:00
\(\frac{a_m-a_n}{a_m+a_n}=1-\frac2{\frac{a_m}{a_n}+1}\)
这是一个关于\(\frac{a_m}{a_n}\)的单调函数， ...

这里解释一下，实验中$b^j$的取值集中在区间（-1,1）上，对于少数点（噪声误差等原因会存在$a_i$偏移量大的点）进行归一化处理，即大于1取1，小于-1取-1。
结合图1，对于水稻而言，\frac{a_m}{a_n}一般是在区间（0,1），即$b^j$在区间（-1,1）上，但显然靠近0的概率低，$b^j$期望要大于0，所以实际取值范围对应图2中的红线。对于非水稻而言，由于$a_n$并不是最小，所以$b^j$期望略大于0，因此对应图2中的蓝线。
至少期望上来说是符合图2的，但是我搞不懂分布如何证明（可能不是正太分布，但是大体符合图2的现状）