圆周上随机分布n个点，它们全部落在长为c的弧上的概率

majer

原始题目是经典的：在圆周上随机放n个点，它们恰好都位于半圆周上的概率。

如果把问题推广一下：设一个圆，周长为1。如今在圆周上随机放n个点，它们恰好都位于一段长为c（0＜c≤1）的弧上的概率。

我用积分方法（实际上时借助积分定义建立了递推公式）解出了c≤0.5时的概率，恰好是n*c^(n-1)。当c=0.5，就是原始问题的答案。

但是当c＞0.5时，我延续上面的积分方法，结果做出来很复杂的结果，都没化简——或者就是错的。

主要问题有两个。因为当c越接近1的时候，若n不够大，则概率P（n）=1。如c=0.5+0.001，圆上任意两个点肯定都能被长为c的弧覆盖。同时，直观上可以发现，n个点分布越均匀，则越不容易被覆盖。这两个事实反映到积分上，导致分段非常复杂。

想问问大家有没有什么好方法。

曹半

https://spaces.ac.cn/archives/9324

mathe

曹半 发表于 2023-2-21 10:02
https://spaces.ac.cn/archives/9324

这个帖子内容论坛里面出现过的，怎么现在找不到了

曹半

简而言之，1.均匀分布被超平面截，其截面上的分布还是均匀分布；2. 容斥原理