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[讨论] 圆周上随机分布n个点,它们全部落在长为c的弧上的概率

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发表于 2023-2-21 00:00:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

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原始题目是经典的:在圆周上随机放n个点,它们恰好都位于半圆周上的概率。

如果把问题推广一下:设一个圆,周长为1。如今在圆周上随机放n个点,它们恰好都位于一段长为c(0<c≤1)的弧上的概率。

我用积分方法(实际上时借助积分定义建立了递推公式)解出了c≤0.5时的概率,恰好是n*c^(n-1)。当c=0.5,就是原始问题的答案。

但是当c>0.5时,我延续上面的积分方法,结果做出来很复杂的结果,都没化简——或者就是错的。

主要问题有两个。因为当c越接近1的时候,若n不够大,则概率P(n)=1。如c=0.5+0.001,圆上任意两个点肯定都能被长为c的弧覆盖。同时,直观上可以发现,n个点分布越均匀,则越不容易被覆盖。这两个事实反映到积分上,导致分段非常复杂。

想问问大家有没有什么好方法。



毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-2-21 10:02:56 来自手机 | 显示全部楼层
https://spaces.ac.cn/archives/9324
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发表于 2023-2-21 10:24:23 | 显示全部楼层
曹半 发表于 2023-2-21 10:02
https://spaces.ac.cn/archives/9324

这个帖子内容论坛里面出现过的,怎么现在找不到了

点评

本论坛的讨论——n只鸭子出现在圆心角为θ>π的扇形的概率:https://bbs.emath.ac.cn/thread-18633-1-1.html  发表于 2023-2-21 11:37
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-2-21 10:25:40 来自手机 | 显示全部楼层
简而言之,1.均匀分布被超平面截,其截面上的分布还是均匀分布;2. 容斥原理

点评

用代数式,转成高纬度几何,就这总结的两点,一下就直接得到答案。 这个思路抓住了本质非常巧妙,就是一个简单的几何体积问题,然后直接秒出答案。 https://bbs.emath.ac.cn/thread-18633-1-1.html   发表于 2023-9-5 23:18
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