椭圆面积最大的内接三角形 (椭圆的内接Steiner三角形)

陈九章

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hujunhua

以上前提完全可以从三角形为主体的视角描述为

“设三角形`A_1A_2A_3`的外接Steiner椭圆的长半轴为a, 短半轴为b, ......”

如此一来，我们发现完全没有必要把这些大量的关系式铺陈在“椭圆的面积最大内接三角形”题下。
所以，请让“椭圆的面积最大内接三角形”题下的内容更精炼、纯粹一些吧。

研究三角形`abc`(边长)中的特殊点位置、特殊线段的长度、特殊区域的面积，导出了大量相关的函数`f(a,b,c)`，
比如半周长`p(a,b,c)`, 外径`R(a,b,c)`, 内径`r(a,b,c)`, 面积`S(a,b,c)`等等。
这些函数的表达式包括多项式，有理式，根式，三角式等，有的简明、有的繁复，有的轮换全对称，有的局部对称。
为了化繁为简，或者揭示相互关系，有时候也把边长`a,b,c`换成其它可约束三角形的几何量三元组，比如`f(a,b,c)\mapsto g(R,r,S)`是用的比较多的替换.
一些常用替换量如`S_2:=a^2+b^2+c^2,σ_2:=ab+bc+ca,σ_3:=abc`等是比较平凡的，

还有一些罕见的替换组合，如费马距离，边长方差等。
楼主陈先生这一贴实际上就是大量运用了一个罕见替换：三角形的外接Steiner椭圆的半主轴。
除非这种替换能显著地简化函数表达式，否则，我也不认为这样大量铺陈是有意义的。

陈九章

谢谢胡老师赐教！
椭圆的内接三角形可以遍历三角形的一切形状，而椭圆面积最大
的内接三角形（内接Steiner三角形），则是一类特殊的三角形，
具有许多奇异的性质，如重心为椭圆中心，面积为定值，Brocard
角为定值......这些寓不变于万变的性质是非常有趣的。另外，
在椭圆的内接Steiner三角形内、外侧构造相似的等腰三角形，
又可得到两个性质更加丰富多彩的二阶三角形......
愿与各位大咖共同探讨。欢迎大家批评、赐教！

hujunhua

陈九章 发表于 2023-4-17 21:42
谢谢胡老师赐教！
椭圆的内接三角形可以遍历三角形的一切形状，而椭圆面积最大
的内接三角形（内接Steine ...

任何一个三角形都存在唯一的外接Steiner椭圆。
三角形是它的外接Steiner椭圆的内接Steiner三角形。
椭圆是它的内接Steiner三角形的外接Steiner椭圆。

可见椭圆的内接Steiner三角形并不是绝对的特殊三角形，只是相对于一个特定的椭圆而已，这没有什么特殊的意义。
与其在“椭圆的内接Steiner三角形”下喋喋不休，不如淡定一点，用“三角形的外接Steiner椭圆长半轴=a,短半轴=b”了结它。
所有的定理不过是说`ΔA_1A_2A_3`的某个几何量`f(a_1,a_2,a_3)`可以代换为`F(a,b,g)`.
这种代换，简明、令人惊艳的典型搞几个就行了，但请优生优育、见好就收。
要不，您做一个代换表算了。