tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC，能推出ABC三角之间啥关系？

nyy

nyy 发表于 2023-3-22 11:46
\[\tan (A) \tan (B)+\tan (A) \tan (C)+\tan (B) \tan (C)-1=-\frac{\cos (A+B+C)}{\cos (A) \cos (B) \ ...

既然有余弦的这样的恒等式，
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
那么正弦的很等式呢？
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2-1=-2cosAcosBcosC
然后两边平方？？？？？？？

nyy

nyy 发表于 2023-3-22 11:51
既然有余弦的这样的恒等式，
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
那么正弦的很等式呢？

得到的表达式
\[\text{SinA}^4+\text{SinB}^4+\text{SinC}^4-2 \text{SinA}^2 \text{SinB}^2-2 \text{SinA}^2 \text{SinC}^2-2 \text{SinB}^2 \text{SinC}^2+4 \text{SinA}^2 \text{SinB}^2 \text{SinC}^2=0\]

这个表达式等于
\[\sin (A-B-C) \sin (A+B-C) \sin (A-B+C) \sin (A+B+C)\]

nyy

nyy 发表于 2023-3-22 12:01
得到的表达式
\[\text{SinA}^4+\text{SinB}^4+\text{SinC}^4-2 \text{SinA}^2 \text{SinB}^2-2 \text{Si ...

我尝试分解一下：
Cos[x - y - z] Cos[x + y - z] Cos[x - y + z] Cos[x + y + z]
结果得到
\[\text{cx}^4+\text{cy}^4+\text{cz}^4-2 \text{cx}^2 \text{cy}^2-2 \text{cx}^2 \text{cz}^2-2 \text{cy}^2 \text{cz}^2+4 \text{cx}^2 \text{cy}^2 \text{cz}^2\]

与上面的比，还算比较对称！
cx表示Cos[x]

如果用正弦来表示，那么
\[\left(\text{sx}^2-2 \text{sx} \text{sy} \text{sz}+\text{sy}^2+\text{sz}^2-1\right) \left(\text{sx}^2+2 \text{sx} \text{sy} \text{sz}+\text{sy}^2+\text{sz}^2-1\right)\]

参考代码：

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. ff=Cos[x+y+z]Cos[-x+y+z]Cos[x-y+z]Cos[x+y-z]
   
3. f=ff//TrigExpand
   
4. f1=f/.{
   
5.     Cos[x]->cx,
   
6.     Cos[y]->cy,
   
7.     Cos[z]->cz,
   
8.     Sin[x]->sx,
   
9.     Sin[y]->sy,
   
10.     Sin[z]->sz
    
11. }
    
12. rule2={
    
13.     Cos[x]->Sqrt[1-sx^2],
    
14.     Cos[y]->Sqrt[1-sy^2],
    
15.     Cos[z]->Sqrt[1-sz^2],
    
16.     Sin[x]->sx,
    
17.     Sin[y]->sy,
    
18.     Sin[z]->sz
    
19. }
    
20. f2=f/.rule2//Expand//Factor
    
21. rule3={
    
22.     Sin[x]->Sqrt[1-cx^2],
    
23.     Sin[y]->Sqrt[1-cy^2],
    
24.     Sin[z]->Sqrt[1-cz^2],
    
25.     Cos[x]->cx,
    
26.     Cos[y]->cy,
    
27.     Cos[z]->cz
    
28. }
    
29. f3=f/.rule3//Expand//Factor
    

复制代码

nyy

nyy 发表于 2023-3-22 15:10
我尝试分解一下：
Cos[x - y - z] Cos[x + y - z] Cos[x - y + z] Cos[x + y + z]
结果得到

尝试分解：
\[1+2 \sin (x) \sin (y) \sin (z)-\left(\sin ^2(x)+\sin ^2(y)+\sin ^2(z)\right)\]
得到
\[4 \sin \left(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}-\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right) \sin \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right) \sin \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \sin \left(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)\]

尝试分解：
\[1-2 \sin (x) \sin (y) \sin (z)-\left(\sin ^2(x)+\sin ^2(y)+\sin ^2(z)\right)\]

得到
\[4 \sin \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right) \sin \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \sin \left(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right) \sin \left(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right)\]

参考代码：

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. ff=1+2*Sin[x]*Sin[y]*Sin[z]-(Sin[x]^2+Sin[y]^2+Sin[z]^2)//TrigFactor
   
3. gg=1-2*Sin[x]*Sin[y]*Sin[z]-(Sin[x]^2+Sin[y]^2+Sin[z]^2)//TrigFactor
   

复制代码

@hujunhua @wayne 又来了一组类似的海伦公式的公式