tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC，能推出ABC三角之间啥关系？

nyy

在三角形中，A+B+C=180°，那么能得到tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC，

但是如果反过来，能得到什么？

也就是
tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC，除了能得到A+B+C=180°这一个关系以外，还有啥关系？

我推测是得到A+B+C=k*180°

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. f=Tan[x]+Tan[y]+Tan[z]-Tan[x]*Tan[y]*Tan[z]
   
4. ContourPlot3D[f==0,{x,-360deg,360deg},{y,-360deg,360deg},{z,-360deg,360deg}]
   

复制代码

这是我画的等值面图，那个竖向的曲面应该是tanA tanB tanC 无意义时的曲面。
根据斜曲面，我推测A+B+C=k*180°，但是我并不能证明！


这个问题是下面的这个问题的衍生！
cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1→±A±B±C=？
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 8&fromuid=14149

nyy

设A，B，C是三角形的三个内角
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

还有这么多三角恒等式的反命题可以研究
https://baike.baidu.com/item/%E4 ... /4304519?fr=aladdin

gxqcn

1. TrigFactor[ a + b + c - a b c /. {a -> Tan[A], b -> Tan[B], c -> Tan[C]}]

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\(\tan{A} + \tan{B} + \tan{C} - \tan{A}\tan{B}\tan{C} = \dfrac{\sin(A+B+C)}{\cos{A}\cos{B}\cos{C}}\)

nyy

gxqcn 发表于 2023-3-21 11:29
\(\tan{A} + \tan{B} + \tan{C} - \tan{A}\tan{B}\tan{C} = \dfrac{\sin{A+B+C}}{\cos{A}\cos{B}\cos{C}} ...

你很聪明！你真的是一学就会！我就没尝试TrigFactor，我觉得这一点没思路，没想到软件还是很牛逼的，这玩意居然也能分解！我真的是低估了软件的智慧！
最后结果的LaTeX有问题！
应该是

\[\tan (A)+\tan (B)+\tan (C)-\tan (A)\tan (B) \tan (C)=\frac{\sin (A+B+C)}{\cos (A) \cos (B) \cos (C)}\]

nyy

gxqcn 发表于 2023-3-21 11:29
\(\tan{A} + \tan{B} + \tan{C} - \tan{A}\tan{B}\tan{C} = \dfrac{\sin{A+B+C}}{\cos{A}\cos{B}\cos{C}} ...

试试这个恒等式
\[-4 \cos \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{C}{2}\right)+\sin (A)+\sin (B)+\sin (C)=0\]

我测试过了，这只能搞出一个因子！

nyy

nyy 发表于 2023-3-21 11:51
试试这个恒等式
\[-4 \cos \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{B}{2}\right) \cos \left(\fra ...

从等值面上，似乎就两个是平面，估计没有简单的表达式。

代码如下

1. Clear["Global`*"];
   
2. ContourPlot3D[-4*Cos[A/2]Cos[B/2]Cos[C/2]+Sin[A]+Sin[B]+Sin[C],
   
3.               {A,0,4*Pi},{B,0,4*Pi},{C,0,4*Pi}]
   

复制代码

nyy

nyy 发表于 2023-3-21 11:58
从等值面上，似乎就两个是平面，估计没有简单的表达式。

代码如下

这个曲面，我感觉是关于(1,1,1)这个向量对称的！

nyy

nyy 发表于 2023-3-21 12:00
这个曲面，我感觉是关于(1,1,1)这个向量对称的！

这儿有旋转办法，但是旋转后的结果并不理想
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 2&fromuid=14149

nyy

gxqcn 发表于 2023-3-21 11:29
\(\tan{A} + \tan{B} + \tan{C} - \tan{A}\tan{B}\tan{C} = \dfrac{\sin(A+B+C)}{\cos{A}\cos{B}\cos{C}} ...

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

考察一下这个等式

\[\cot (A) \cot (B)+\cot (B) \cot (C)+\cot (A) \cot (C)-1\\=\frac{\sin (A+B+C)}{\sin (A) \sin (B) \sin (C)}\]

不得不说这个等式很有意思！

nyy

nyy 发表于 2023-3-22 11:39
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

考察一下这个等式

\[\tan (A) \tan (B)+\tan (A) \tan (C)+\tan (B) \tan (C)-1=-\frac{\cos (A+B+C)}{\cos (A) \cos (B) \cos (C)}\]
这个等式也成立


那么问题来了，上面cos，下面三个sin是啥表达式？


\[\cot (A)+\cot (B)+\cot (C)-\cot (A)\cot (B) \cot (C)=-\frac{\cos (A+B+C)}{\sin (A) \sin (B) \sin (C)}\]