前n个素数的积大概是多少？

Ickiverar

用MMA试了一下，前n个素数的积大概是 e^( 1.13... xlnx)，有没有更具体的或者渐近的解？

Log[ Product[Prime, {i, 1, n}] ] / ( n Log[n] ) ~ 1.13

(刚刚在B站发现一个很有趣的数，https://www.bilibili.com/video/BV1ZT4y1C7xX，https://oeis.org/A249270)，想把它计算到10亿位，估计要求和的项数需要用到前n个素数积的近似值。

nyy

第n个素数的大侠大概是nlog(n)
假设这个积是t，
那么log(t)=log(nlog(n))
求下积分，然后再exp，差不多就得到一个值。不会差太远

Ickiverar

我发现一个精度极高的结论！
小于 x 的所有素数的积的自然对数约等于 x。

！！

Ickiverar

定义 $S(n)$ 为不超过 $n$ 的所有素数的积的自然对数：
\[S(n)=\ln\left(\prod_{p\,\text{is prime}}^{p\le n}p\right)=\sum_{p\,\text{is prime}}^{p\le n}\ln p\]
我猜想：
\[0\lt n-S(n)\lt 2\sqrt{n},\quad n\text{ is prime or }n\ge 1423\]

Ickiverar

4#的猜想已经有结果了，是不成立的。
这篇论文
https://doi.org/10.7169%2Ffacm%2F1229619660
1229619660.pdf (257.62 KB, 下载次数: 1)

2024-8-25 13:18 上传

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的第9页式4.9表明
\[n-S(n)=\Omega(\sqrt{n}\log\log\log n)\] , 这个下界已经比我的猜想要大一个logloglogn了。