无限循环计算

gxqcn

虽然是理论上存在负黑洞，即便用其作为初始值 (\( -\sqrt2 - 1\)），但实际上因浮点的误差，迭代后无法稳定于此值，继而逐渐落入正黑洞。

mathe 上面的论述，让我的疑问，烟消云散。

mathe

对于-sqrt(2)-1的情况，由于越迭代越发散，我们可以考虑反向迭代，也就是用1/(2+x)的逆函数进行迭代，变为x=1/x-2

nyy

gxqcn 发表于 2023-8-14 15:17
背后的数学原理：\( x = \dfrac{1}{x+2} \implies x=\pm \sqrt2 - 1\)

我来解释一下你的疑惑
x=g(x)进行不动点迭代，
假设有两个点x1 x2
g(x)的导数g'(x)，
如果g'(x1)的绝对值小于1，那么迭代收敛，如果大于1，则发散不收敛

对于本题，
x == 1/(x + 2)
有两个不动点
{{x -> -1 - Sqrt[2]}, {x -> -1 + Sqrt[2]}}

导数是
-(1/(2 + x)^2)
代入上面的不动点，得到
\[\left\{-2 \sqrt{2}-3,2 \sqrt{2}-3\right\}\]
数值化
{-5.82843, -0.171573}

很显然前者的绝对值大于1不收敛，后者的绝对值小于1，所以收敛！

参考资料
1.5 不动点的收敛判别
https://zhuanlan.zhihu.com/p/444438187

Jack315

【迭代过程的几何表达】
迭代公式为：
\[x_{n+1}=\frac{1}{x_n+2}\]

作出公式左边 \(y=x\) 和右边 \(y=1/(x+2)\) 的曲线，
两条曲线的交点为不动点。


不动点有两个，从下图的迭代轨迹可以看出：

对于右侧（第 I 象限）的不动点，
如果出现扰动而偏离了不动点，
经过迭代仍会回到这个不动点，
因而是个稳定的不动点。

对于左侧（第 III 象限）的不动点，
如果出现扰动而偏离了不动点，
经过迭代将会远离这个不动点，
之后穿越到第 II 和第 I 象限，
并最终到达右侧的这个不动点，
因而左侧的不动点是个不稳定的不动点。

比较 \(y=1/(x+2)\) 在第 I 和第 III 象限内的曲线可以看出，
一个向上是凸的，一个向上是凹的。
几何上，这就是造成稳定性差别的原因。