无限循环计算

EulerKepler

请证明：以任意实数a作为初始输入, 循环进行下面的计算步骤，对输入加2后求其倒数，其结果再作为输入。随着循环的进行，结果趋向于\( \sqrt{2} -1\)。
附上C++代码。1楼回复为程序运行的结果。

EulerKepler

Please input the start real num!
5412
round   1    0.00018470631695603989656446250461765792390099741411156261544144809752493535278906538603620243812338381972663465090506095308459549316586627262
round   2    0.499953827684920121894911810878197432819281558777357096684827777264752054668021054575676424415920214239541970634407609197525163911718533
round   3    0.4000073877068557919621749408983451536643026004728132387706855791962174940898345153664302600472813238770685579196217494089834515366430260954
round   4    0.41666538408261893401874624844166038200483277669185661736413587182368060579009742508426577193603496837147738291290228248657134502023917625
round   5    0.413793323058502846807372403163968462214523175686863926428817078296755785960845253410437019959495089734934848233960437656829153345476314
round   6    0.414285676593431818241783176652797163128052368149569007596125685669733436409161787714803606246817357899152790566978620560461624921835629
round   7    0.4142011898985395110137743214474621763515315244427541648634589240204756971310418387910421010758046677944911457035570185216756499197845768
round   8    0.41421568516500753028069138252513149133055782019762969307146274853660866215408126727811248206833520364350605523292264973534243425207133644
round   9    0.414213198159903307546428990635637379298499699429873033028213090907181769737407086704825134937799046650808764272393411982829064287506295474
round  10    0.4142136248622089884514569829141087355443219695860588310631132345621059320753708775216638575798007328194520482619789542554423420584728627
round  11    0.41421355165165837562498085841299450601065134413189074612683659505975906950911834429325915019332037753515038788897956746576197414039154101
round  12    0.4142135642126027738394471355327898523663140054203825364289680446671523653638933784533058109105669928864591724129678380677540754509690816
round  13    0.41421356205748541960584421031640733939294740016645203235202599010571815863043609555959712342292020265371005983859047665685825547800469559554
round  14    0.4142135624272451003476875794966377263218047146870268901713584404339542540211778346723440648215206494527369683551948589333347423061015942
round  15    0.4142135623638043687630080735974512760467216712149479231200024889148417279301137683413570191476396259956184961904855957178694414688191689
round  16    0.41421356237468907748899447557745270402528361785463605778619941839542674574385513047278202439752669675224737511547051946155924662717432
round  17    0.4142135623728215567165708007561091494805002742740445586809214425673758457820221169699715698244160259347502320803187092601501952973122575959
round  18    0.41421356237314197262509157136581483984478062969652723277117375943701898072618328552033907859153362583843599674388875112699554714003751
round  19    0.4142135623730869979463895958653799196375650928691792195618003132337761176509531875111365186582632889160398644270300153883812050258619208
round  20    0.4142135623730964301100806480361307666655139310427238936327577853749908182024598960095519506504788098719510031753267176049652993856619658496
round  21    0.41421356237309481180663630962240348575699055999819609857700724886530573469590964287535755616684497357608582108379649031624938816942524059
round  22    0.41421356237309508946361128790782726380060629948725476846393897217194380286128538566535725174127075400053935518560131226036352678326703329
round  23    0.414213562373095041825205756608240942489894310990259354616907387637998152092146847690590859243833791959261865043754784425114190042096924024
round  24    0.4142135623730950499986639661203123981337348569351224629080277645217715509897199433289620389848225972617806624863351508786203670860668163
round  25    0.4142135623730950485963202403474693175272125433601586392255834327045490073678626371098478609109211633586474461666822665786174147774873905
round  26    0.41421356237309504883692438547245632585682662672048938224783338863594158263667799431736501323210114063968253892301688493619848924282804
round  27    0.4142135623730950487956432404953773559067608936202106518568937823782251297840398090788867806695307293074026337300167212468555224524435606566
round  28    0.4142135623730950488027259652328641672604998795553661684772485732261348866340507477309327977960371570552841459580987637198615980263465465
round  29    0.41421356237309504880151076178502226908763004714764172293801236698469601355259557755254475824748728174575735114277465324171132360603064598
round  30    0.41421356237309504880171925773458684677109528846463641118374387310589170345474192996496688795654471840223535852771935720816817883925919
round  31    0.414213562373095048801683485485041278843173238264782878899379888817343033181295265749492367118990409563669011525309068276295528915171885
round  32    0.41421356237309504880168962303275010872724028535037100885598403115206832204797572034574686831156844623311065345141861801984140332760250837273
round  33    0.4142135623730950488016885699960426973507600526600008426190935677131623899177452051683663690219370009058067035151305177130355564348540578853214
round  34    0.4142135623730950488016887506685783357255744017055448470122742768385507538785118835912940695064548121407786802298270484707308280839940292634
round  35    0.414213562373095048801688719670071916853168540122324561238740487351279349424923688993343693027206697410919020641821803515113510512944046233
round  36    0.41421356237309504880168872498857479171278936057609266241276050641203817680988864562114514314970720193714850171181960765832277651064516949
round  37    0.4142135623730950488016887240760639614274702994367040582774458826342417668921319375714864540743461063640183405696570118157004185883778009799
round  38    0.414213562373095048801688724232626068279763845819267573588553452360237732297152760902385465405194897976395994856141377452517697731041886
round  39    0.4142135623730950488016887242057642574513216286632750856121057247617685314834851241188236512427979201810710705247626460271546148388163082
round  40    0.414213562373095048801688724210373015569681385216666498152468951816757615432844838357304562967052259487712833958450875635542269846530333
round  41    0.4142135623730950488016887242095822776879650630523105108865249105713568429123939680026641477336470798047796297706563951063677218549337400187
round  42    0.41421356237309504880168872420971794685990323948505502194181967832479658192271722097558754934514584022200771536987607138535952231584501423
round  43    0.41421356237309504880168872420969466970999050305294394287599492898831677647643212804110453917282628778512279935464738549585638089970090313
round  44    0.41421356237309504880168872420969866343752874521286590621564865183549878954376254223769485030108888844000656850279303676414838834570184415
round  45    0.414213562373095048801688724209697978222212028685445205243551063929387920088927320573151167395372275240174807500795256082982051828465799531
round  46    0.414213562373095048801688724209698095786574085690047447736482868514175923447978926538723207508127883171526408006270944986115172068046491531
round  47    0.414213562373095048801688724209698075615718460189854693750989628911420558956245807775928105474200290063325431959427493689374227777140230422
round  48    0.414213562373095048801688724209698079076490156186408975171017261943160673913426266659403918812532720571206004951958581835125353767679566087
round  49    0.414213562373095048801688724209698078482715605707276040636344703355475228892669314012676887495340602184381856771555802547699403872441795315
round  50    0.4142135623730950488016887242096980785845912125855193664243524218498477805343484030425994078943840349843467665065281547117899392089716641
round  51    0.4142135623730950488016887242096980785671121217951923462309786694712979156012444287416875285020278865737425979579066615502259014714212561
round  52    0.414213562373095048801688724209698078570111059658911141603213465248224553555133999368671335903117411330780926696620090615138846018859216595
round  53    0.414213562373095048801688724209698078569596523266925389563178442965214590764810613624575908368090362371653705300099272805630147179844539876
round  54    0.414213562373095048801688724209698078569684803755121106431153780886347729552858709985177889022401404140952282321348744800921775038458464621
round  55    0.4142135623730950488016887242096980785696696572179325572633367756425588596148934396312154718905095255452910900517257960737633633780319553
round  56    0.41421356237309504880168872420969807856967225595286813540226346918415894045463696310021210598652046665248973695338024942535179824982684062
round  57    0.4142135623730950488016887242096980785696718100804432157365203131783473253541410925726604858884035598299783897273753340494105086330937023893
round  58    0.41421356237309504880168872420969807856967188658005715559205255567161693511737279226698555018805663000597538096274524418825216435884782771
round  59    0.4142135623730950488016887242096980785696718734547984361246022567178108916384784646285282625789256463838223014160574647073123017018646619
round  60    0.414213562373095048801688724209698078569671875706736813073771807947377542748612730764945201209893948377411934423729403409066061326308986732
round  61    0.4142135623730950488016887242096980785696718753203652708462047995237836795667014615849008063209505842734266920239746311718267240301305386108
round  62    0.41421356237309504880168872420969807856967187538665614726243729883578020754803481052875023553081278047066255383794489067822691375364457979
round  63    0.414213562373095048801688724209698078569671875375282430992609311387394902841945986045698055116638164430910523640150228065131224325415272913
round  64    0.41421356237309504880168872420969807856967187537723385219534473676571020309714558400016170839053005025432134432308653384683504056739012894991
round  65    0.41421356237309504880168872420969807856967187537689904124876017194420370627203682075643196916131527090650359668170328630565728039493770818048
round  66    0.414213562373095048801688724209698078569671875376956485725532135494927386967489802264346751262710940186299733323885310383771382731256212
round  67    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694662981148491901209179961988067646058779788355167085666154506557720575386123751631060727
round  68    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948320818996254358381643010082449775226736057111616583304120912051902960744742363528854434
round  69    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694803068797545876347817001648093569115206039491121152449179005758621124000617025599809404256
round  70    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948080466588896986609164587888246880961176194553696149881439245626725134195962028427294
round  71    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807192592906324272667015304589382618115705889919345633109586829101300496684687228781983
round  72    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480733912746274828906421906927009650521560731837249922427775155608146253260366730014013156
round  73    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073139861075785789304399654211186606181123131038470323009536901490649154831288356255167
round  74    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731829968217282333591082383427184110318091626260659299351294998931163124041181011452
round  75    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731755958977706703686477720433060279026430257870142081495339618765094273852287583003573
round  76    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176865695573604256701985708248521826953815233728931937514043836929323627364848759
round  77    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176647832713563918837170018005941410255215392492310995229073967152227836145629034603
round  78    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766852120708720579718504945189299861360249931973128609588107507526484917664050107574
round  79    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667879878706356102858332568357894754976723020392260886535990495505682156562351088
round  80    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667989913260640355350586218269660318650420745926225569632819572888409506624596115
round  81    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679710343157845347237812023341707952340106920614626803969296871404521126758650875
round  82    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679742734306352059923576480353423720587732897160753327154399242098276704190946204
round  83    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737176863869990077039897638024345266077576531623080402683875404825314068645351
round  84    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679738130370255696470494936918704828948383523760278037727873704871469225700739991
round  85    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379667744235279563012839500213021762031610174785405284500947650480542861971749
round  86    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379948430308326480081624814419791269793902456205663998019259369309035053964064
round  87    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990027219173011960544261601444194502377619567908371114549012054971726276673
round  88    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990853481826136539375049223976838588224147741830671886979389427712949875
round  89    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907117175670251140085433293159065501576047509548959397740500671973805756296
round  90    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990736040468569087376791074748854692710334522287250850575708857549572575018
round  91    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907318673184166725338104968120978754604988851688973329710954759519898721
round  92    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732583317787188223446218999690636406782936546663527797116975185294089
round  93    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073246047171650892861246381089088797891426539841987644560136138305148654
round  94    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732481548770069007979272756096617599842240910115589728673544963202889416
round  95    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324779325193878266121742736619883021430589881849613817560572845370746
round  96    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324785529699148354479562230640344674101750080730181801887997763805603142
round  97    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784465174339638003630090863867735066608106753057365098325039854612154
round  98    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478464781792184850140343550226771660629975173523600150893646512570094
round  99    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846164812373019906955074483447664032918558192886198349406374501592
round 100    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462185776237055716973113348248608164758633279427346830417823232
round 101    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846209352965056690323170765791182145210991677077333421187612148932
round 102    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462109356662643138257773286160573892429164472132046586772253729
round 103    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621066411766745418427852070048459631623947726337849559371620298
round 104    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621071070804098853066480536904610984437652682646423660515799895932
round 105    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107027143966420938459052732498216022311993977759536200163930341
round 106    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107040858891863683730211794660375269661144068199105194242326056
round 107    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703850578267158029225837965030220701951781244452108118801102027
round 108    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703890951238145564881980754858133552012525653245676543550552
round 109    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703884024331430694740465516897962715810684775942677300485354
round 110    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038852128007323799334141548310748829609856309671043341270938
round 111    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388500889163713891723756519257271626102137812354137534185
round 112    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885043876906899821348465090473549310506040160492094411558266
round 113    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503787438357541285965534157071771356232078235073877857
round 114    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850389042537609596816139370868742457399750142481535067888
round 115    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503872755597208723867211289276664961776900100502077046717
round 116    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038757872519775074364462541255694173350848566402460178
round 117    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387526710225205031521888444290229620657764412450582332
round 118    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753563458360094733481376900005674194361630807780192395
round 119    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875341034057711645799987890078061270792261858885038254
round 120    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343661143539452959633442514826949797150233970728
round 121    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534321040687043754990992781673902441172120534956931
round 122    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432877410567228486054635685008977194070019908331103
round 123    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327447260802646615576375601758325872125076440903
round 124    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327674911391946215842687915559671514996148168
round 125    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432763585272578685921479528108304372634484044316
round 126    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276425541334433987158387741414648153816150707
round 127    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641404353663518337470450267566069812275030224
round 128    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641601624686261106636900452537454191540645652
round 129    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764156777832968487000652321660789348528699356
round 130    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415735854463995206223364472138733435432906
round 131    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572589102687853557834299507554900259160122
round 132    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572760048243205329033955139485701707646366
round 133    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273071862276176633816905421933630085937
round 134    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735750790071371313229933886727293095059
round 135    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273488740665730415865074114874674646797
round 136    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735035539832102111065017909239033994785
round 137    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735010124197381551158550084265855461015
round 138    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735014484830906958183080273612639136822
round 139    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501373666447507594236696250511561574
round 140    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013865029540962362116639803473066384
round 141    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013843005577526084331887120851883655
round 142    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138467842922573312907259182215293
round 143    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138461359673061273224458166248377
round 144    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384624720228210417328762883534181
round 145    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846228117377447036516857169009096
round 146    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623139182941300629967495650131
round 147    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230830022274324373539897880728
round 148    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623092641314044614753246211201
round 149    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623090987508239742971213534486
round 150    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309127125645679626415317164
round 151    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091222572959348288548025389
round 152    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091230925726982849239265793
round 153    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122949261862346069696962
round 154    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229738501145231259506254
round 155    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122969631437399642658262
round 156    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229703552479634861587767
round 157    0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970231061703908448054772
round 158    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702523686975312118716
round 159    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702487129953723396922
round 160    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024934021470280895218
round 161    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024923260087886557167
round 162    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024925106449205659476
round 163    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492478966368538367
round 164    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492484401548793617
round 165    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483469019289701
round 166    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836290160579469
round 167    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483601564952387
round 168    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483606274817497
round 169    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605466732398
round 170    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836056053778823
round 171    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055815900779
round 172    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585671419
round 173    0.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605584971172
round 174    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850913159
round 175    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850707025
round 176    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850742392
round 177    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850736324
round 178    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737365
round 179    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737186
round 180    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737217
round 181    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737211
round 182    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 183    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 184    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 185    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 186    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 187    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 188    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 189    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 190    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 191    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 192    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 193    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 194    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 195    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 196    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 197    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 198    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 199    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212
round 200    0.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212

gxqcn

背后的数学原理：\( x = \dfrac{1}{x+2} \implies x=\pm \sqrt2 - 1\)

hujunhua

就是计算连分数
$x=1/(2+x)=1/(2+1/(2+x))=1/(2+1/(2+1/(2+╲)))$
初值为什么不重要？因为初值在无穷远。
比如如果从初值`x_0`开始计算, 迭代3次，连分数表达式为
$1/(2+1/(2+1/(2+x_0)))$, 而不是$1/(x_0+1/(2+1/(2+2)))$
连分数，写起来从左向右，计算起来从右向左。

EulerKepler

hujunhua 发表于 2023-8-14 15:45
就是计算连分数
$x=1/(2+x)=1/(2+1/(2+x))=1/(2+1/(2+1/(2+╲)))$
初值为什么不重要？因为初值在无穷远。 ...

谢谢版主

EulerKepler

gxqcn 发表于 2023-8-14 15:17
背后的数学原理：\( x = \dfrac{1}{x+2} \implies x=\pm \sqrt2 - 1\)

谢谢

gxqcn

虽然理论上有两个“不动点”，但却表现为仅一个“黑洞”，为什么？

Jack315

估计两个不动点，一个稳定，另一个不稳定。

hujunhua

将`x=-1-\sqrt2`代入$1/(2+x)$仍然得到 `-1-\sqrt2`, 确实掉入负值黑洞。

看来4#说初值在无穷远所以不重要是不正确的。

mathe

迭代公式
$x_{n+1}=\frac1{x_n+2}$, 记$t=-1\pm\sqrt{2}$, 于是$t^2+2t-1=0$, 于是$\frac{1-2t}t=t$
$x_{n+1}-t=\frac1{x_n+2}-t=\frac{1-2t-t x_n}{x_n+2}=\frac{t}{x_n+2}(\frac{1-2t}t-x_n)=-\frac{t}{x_n+2}(x_n-t)$

所以如果对于某些充分大的n以后均有$|frac{t}{x_n+2}|\lt 1$,那么必然会收敛到t.
比如如果选择初始值$x_1\gt 0，t=-1+\sqrt{2}$,那么必然有$|x_{n+1}-t| \lt \frac t 2|x_n-t| \lt ... \lt (\frac t 2)^n |x_1-t| \to 0$
而对于同样的t,如果$-2\lt x_1\le 0$,必然$x_2\gt 0$,同样归结到上面部分。而对于$x_1\lt -2.5$,那么$-2\lt x_2\lt 0$,所以$x_3 \gt 0$,...
最后可以知道只要不会出现$x_n=-2$的特殊情况，其它情况都最多有限步会出现正数，归结到前面的情况。

而对于$t=-1-\sqrt{2}$, 假设有某个$x_1$使得结果趋向t,那么必然对于充分大的情况，有$-\frac{t}{x_n+2} \to -\frac{t}{t+2}=\frac{1+sqrt{2}}{1-sqrt{2}}$,而这个数的绝对值大于1，这表明只要某个$x_n$充分靠近t以后，$x_{n+1}$就会离t更远，从而无法收敛到t