如何解决这个二元不等式求最大值问题？

王守恩

[转载]如何解决这个二元不等式求最大值问题？

已知 x,y>0, x^3+y^3-x/4-y/4=3, 求13x+y最大值。

注：本题源自清华大学2024年1月中学生标准学术能力测试第8题，
欢迎各位采用各种方法，例如简洁优美的不等式法，甚至可以是几何法，也期望给出通法。

王守恩

x^3+y^3-x/4-y/4=3

4x^3-x+4y^3-y=12

x(2x+1)(2x-1)+y(2y+1)(2y-1)=12

求13x+y最大值。瞪眼:   y尽量小,  2y-1=0,  y=1/2。

Jack315

x=3/2, y=1/2 时 13 x + y 取得最大值 20：

1. Maximize[{13 x + y, x^3 + y^3 - x/4 - y/4 == 3, x > 0, y > 0}, {x, y}]

复制代码

王守恩

给出通法。

已知  x,y>0,  x^3+y^3-(x+y)/C=B,  求 A*x+y 最大值。

等同解二元方程组:  x^3+y^3-(x+y)/C=B,   \(\D\frac{3y^2-1/C}{3x^2-1/C}=\frac{1}{A}\)

已知  x,y>0,  (x^3+y^3)*D-(x+y)/C=B,  求 A*x+y 最大值。

等同解二元方程组:  (x^3+y^3)*D-(x+y)/C=B,   \(\D\frac{3Dy^2-1/C}{3Dx^2-1/C}=\frac{1}{A}\)

nyy

王守恩 发表于 2024-1-28 09:53
给出通法。

已知  x,y>0,  x^3+y^3-(x+y)/C=B,  求 A*x+y 最大值。

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. f=13*x+y+t*(x^3+y^3-x/4-y/4-3)
   
3. ans=Solve[D[f,{{x,y,t}}]==0,{x,y,t},Reals]
   

复制代码

方程组求解结果！
\[\left\{\left\{x\to \frac{3}{2},y\to -\frac{1}{2},t\to -2\right\},\left\{x\to \frac{3}{2},y\to \frac{1}{2},t\to -2\right\}\right\}\]