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[讨论] 如何解决这个二元不等式求最大值问题?

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发表于 2024-1-27 10:32:20 | 显示全部楼层 |阅读模式

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[转载]如何解决这个二元不等式求最大值问题?

已知 x,y>0, x^3+y^3-x/4-y/4=3, 求13x+y最大值。

注:本题源自清华大学2024年1月中学生标准学术能力测试第8题,
欢迎各位采用各种方法,例如简洁优美的不等式法,甚至可以是几何法,也期望给出通法。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-1-27 10:33:28 | 显示全部楼层
x^3+y^3-x/4-y/4=3

4x^3-x+4y^3-y=12

x(2x+1)(2x-1)+y(2y+1)(2y-1)=12

求13x+y最大值。瞪眼:   y尽量小,  2y-1=0,  y=1/2。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-1-27 16:04:00 | 显示全部楼层
x=3/2, y=1/2 时 13 x + y 取得最大值 20:
  1. Maximize[{13 x + y, x^3 + y^3 - x/4 - y/4 == 3, x > 0, y > 0}, {x, y}]
复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-1-28 09:53:48 | 显示全部楼层
给出通法。

已知  x,y>0,  x^3+y^3-(x+y)/C=B,  求 A*x+y 最大值。

等同解二元方程组:  x^3+y^3-(x+y)/C=B,   \(\D\frac{3y^2-1/C}{3x^2-1/C}=\frac{1}{A}\)

已知  x,y>0,  (x^3+y^3)*D-(x+y)/C=B,  求 A*x+y 最大值。

等同解二元方程组:  (x^3+y^3)*D-(x+y)/C=B,   \(\D\frac{3Dy^2-1/C}{3Dx^2-1/C}=\frac{1}{A}\)

点评

我用拉格朗日乘子法求得相同表达式。  发表于 2024-2-4 10:37
nyy
你这与拉格朗日乘子法有什么本质区别?  发表于 2024-1-29 09:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-1-29 09:40:39 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-1-28 09:53
给出通法。

已知  x,y>0,  x^3+y^3-(x+y)/C=B,  求 A*x+y 最大值。
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. f=13*x+y+t*(x^3+y^3-x/4-y/4-3)
  3. ans=Solve[D[f,{{x,y,t}}]==0,{x,y,t},Reals]
复制代码


方程组求解结果!
\[\left\{\left\{x\to \frac{3}{2},y\to -\frac{1}{2},t\to -2\right\},\left\{x\to \frac{3}{2},y\to \frac{1}{2},t\to -2\right\}\right\}\]

点评

nyy
结果是19与20  发表于 2024-1-29 09:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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