单位正方形内随机均匀分布N个点，求最近两点的距离的期望值。

lihpb00

太难不会

KeyTo9_Fans

KeyTo9_Fans 发表于 2024-6-12 09:01
用蒙特卡罗方法运行了一晚上，可以得到如下表所示的数据：

...

根据表中数据，当N很大的时候，N个点最小距离的期望值大约是1/(sqrt(2)*(N-2)+2)

程序还在继续运行中，我打算运行1个月后再查看最新结果...

我的蒙特卡罗方法已经运行了1个月07天17小时52分了，每个N都随机生成了4390.34亿个样本

样本均值、拟合公式、拟合误差的最新结果如下表所示：



根据1个月前的结果，当N很大的时候，N个点最小距离的期望值大约是1/(sqrt(2)*(N-2)+2)

根据目前的最新结果，1/(sqrt(2)*(N-2)+2)应修正为1/(sqrt(2)*(N-2)+2-1/(2003.4497*(N+35.258617)^0.03536892-2271.614))

虽然修正后的拟合公式巨丑无比，但拟合效果还是挺不错的，拟合误差去到了10的-8次方级别

程序还在继续运行中，我打算运行6个月后，再次查看最新结果

KeyTo9_Fans

6个月的时间到了，最新的模拟结果如下：

1. 样本数量：每个N都有7068.26亿个样本
   
2. 样本的统计值如下表所示：
   
3. N 最小距离的平均值 最小距离的平方的平均值
   
4. 1 1.4142135623783492 2.0000000000000000
   
5. 2 0.5214057615236760 0.3333337077849534
   
6. 3 0.3055367121177529 0.1189833474962226
   
7. 4 0.2116905072548382 0.0568593620795358
   
8. 5 0.1623558656728097 0.0333736938240333
   
9. 6 0.1318581332731025 0.0220263453094367
   
10. 7 0.1110256184653947 0.0156198250025669
    
11. 8 0.0958957993372692 0.0116556478018082
    
12. 9 0.0844053683747555 0.0090321617307813
    
13. 10 0.0753796660799072 0.0072055701586198
    
14. 11 0.0681011862926572 0.0058825959512142
    
15. 12 0.0621067397542166 0.0048935972476607
    
16. 13 0.0570836166363670 0.0041348194711350
    
17. 14 0.0528132193595966 0.0035399280143799
    
18. 15 0.0491379931893881 0.0030648755407010
    
19. 16 0.0459414866995245 0.0026794815334353
    
20. 17 0.0431358153183523 0.0023625136272469
    
21. 18 0.0406534134402537 0.0020986743305727
    
22. 19 0.0384413477659343 0.0018767087203376
    
23. 20 0.0364577721663563 0.0016882031520106
    
24. 21 0.0346689625771450 0.0015267490669257
    
25. 22 0.0330475885816761 0.0013874069655979
    
26. 23 0.0315711635454700 0.0012663133065116
    
27. 24 0.0302210901025148 0.0011604155577529
    
28. 25 0.0289818011560919 0.0010672720294659
    
29. 26 0.0278401812077035 0.0009849121948714
    
30. 27 0.0267851252317426 0.0009117336629282
    
31. 28 0.0258071488711832 0.0008464206625598
    
32. 29 0.0248980985257947 0.0007878846036231
    
33. 30 0.0240509350434979 0.0007352193469443
    
34. 31 0.0232595361283301 0.0006876644142999
    
35. 32 0.0225185764772590 0.0006445795999297
    
36. 33 0.0218233729301171 0.0006054210826284
    
37. 34 0.0211698287891007 0.0005697268448165
    
38. 35 0.0205542916736109 0.0005370988765828
    
39. 36 0.0199735507237992 0.0005071963858087
    
40. 37 0.0194247346657601 0.0004797240264665
    
41. 38 0.0189052790705387 0.0004544250943657
    
42. 39 0.0184128888256292 0.0004310762765224
    
43. 40 0.0179454940907886 0.0004094818156876
    
44. 41 0.0175012462093210 0.0003894705453871
    
45. 42 0.0170784639404580 0.0003708913023181
    
46. 43 0.0166756345694049 0.0003536108699748
    
47. 44 0.0162913698821524 0.0003375106578501
    
48. 45 0.0159244199787685 0.0003224856805168
    
49. 46 0.0155736406383676 0.0003084423168182
    
50. 47 0.0152379860876205 0.0002952969212351
    
51. 48 0.0149164944399702 0.0002829743379107
    
52. 49 0.0146082913505292 0.0002714073761331
    
53. 50 0.0143125669747770 0.0002605354684116
    
54. 51 0.0140285758592401 0.0002503038999766
    
55. 52 0.0137556384714011 0.0002406635390042
    
56. 53 0.0134931217043478 0.0002315697163634
    
57. 54 0.0132404357858062 0.0002229816532644
    
58. 55 0.0129970421449298 0.0002148627989617
    
59. 56 0.0127624386793340 0.0002071794799261
    
60. 57 0.0125361537569304 0.0001999010671545
    
61. 58 0.0123177520009802 0.0001929995401811
    
62. 59 0.0121068316428923 0.0001864493561445
    
63. 60 0.0119030147422351 0.0001802271525603
    
64. 61 0.0117059464129250 0.0001743113114721
    
65. 62 0.0115152978071428 0.0001686820619875
    
66. 63 0.0113307625951919 0.0001633212346878
    
67. 64 0.0111520447954814 0.0001582118579748
    
68. 65 0.0109788817065713 0.0001533386836305
    
69. 66 0.0108110116724276 0.0001486871729001
    
70. 67 0.0106481991196170 0.0001442442052970
    
71. 68 0.0104902181887084 0.0001399974434271
    
72. 69 0.0103368574528963 0.0001359355490262
    
73. 70 0.0101879140123484 0.0001320478484641
    
74. 71 0.0100432037982683 0.0001283246298279
    
75. 72 0.0099025468882672 0.0001247566779906
    
76. 73 0.0097657759541552 0.0001213355176291
    
77. 74 0.0096327335405849 0.0001180532131109
    
78. 75 0.0095032653965150 0.0001149022690184
    
79. 76 0.0093772302744378 0.0001118757938858
    
80. 77 0.0092544964167066 0.0001089674024036
    
81. 78 0.0091349320360111 0.0001061708995869
    
82. 79 0.0090184177510940 0.0001034806918225
    
83. 80 0.0089048407652920 0.0001008915200110
    
84. 81 0.0087940878028170 0.0000983983004695
    
85. 82 0.0086860579960121 0.0000959964079318
    
86. 83 0.0085806473039085 0.0000936813412632
    
87. 84 0.0084777671837257 0.0000914490715113
    
88. 85 0.0083773243679298 0.0000892956557572
    
89. 86 0.0082792344225533 0.0000872174285502
    
90. 87 0.0081834133800926 0.0000852108868803
    
91. 88 0.0080897853896795 0.0000832727924800
    
92. 89 0.0079982749619930 0.0000814000717728
    
93. 90 0.0079088149483795 0.0000795899027289
    
94. 91 0.0078213314322051 0.0000778394002021
    
95. 92 0.0077357620776188 0.0000761460097699
    
96. 93 0.0076520461160776 0.0000745073171841
    
97. 94 0.0075701213591590 0.0000729209274435
    
98. 95 0.0074899335034203 0.0000713846906516
    
99. 96 0.0074114261797273 0.0000698964836483
    
100. 97 0.0073345469819042 0.0000684543248419
     
101. 98 0.0072592454333760 0.0000670563200694
     
102. 99 0.0071854782180173 0.0000657007862357
     
103. 100 0.0071131927359041 0.0000643859022851

复制代码

我现在在研究别的问题，等我有空了，我再回来数值分析一下上面这一长串结果

KeyTo9_Fans

数值拟合的结果如下表所示：

拟合误差好像没什么改善，这6个月的程序可能白跑了